Question

（2010•撫州模擬）已知：函數(shù)f（x）=-x³+ax²-4（a∈R）．
（1）函數(shù)y=f（x）的圖象在點P（1，f（1））處的切線的傾斜角為

π

4

，求a的值；
（2）若存在x₀∈（0，+∞）使f（x₀）＞0，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）的導函數(shù)，把x=1代入導函數(shù)中求出的導函數(shù)值即為切線的斜率，然后再根據(jù)切線的傾斜角求出切線的斜率，兩個斜率相等即可求出a的值；
（2）求出f（x）的導函數(shù)，當a小于等于0時，由x大于0，得到導函數(shù)小于0，即函數(shù)在（0，+∞）上為減函數(shù)，又x=0時f（x）的值為-4且當x大于0時，f（x）小于-4，所以當a小于等于0時，不存在x₀＞0，使f（x₀）＞0；當a大于0時，分區(qū)間討論導函數(shù)的正負得到函數(shù)的單調區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的增減性得到f（x）的最大值，讓最大值大于0，列出關于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范圍，綜上，得到滿足題意a的取值范圍．

解答：解：（1）依題意f′(1)=tan

π

4

=1，∴-3+2a=1，即a=2．（4分）
（2）f′(x)=-3x(x-

2a

3

)．
①若a≤0，當x＞0時，f′（x）＜0，∴f（x）在[0，+∞）上單調遞減．又f（0）=-4，則當x＞0時，f（x）＜-4．
∴a≤0時，不存在x₀＞0，使f（x₀）＞0．（8分）
②若a＞0，則當0＜x＜

2a

3

時，f'（x）＞0，當x＞

2a

3

時，f'（x）＜0．從而f（x）在(0，

2a

3

]上
單調遞增，在[

2a

3

，+∞)上單調遞減．∴當x∈（0，+∞）時，
f(x)max=f(

2a

3

)=-

8a3

27

+

4a3

9

-4=

4a3

27

-4，據(jù)題意，

4a3

27

-4＞0，即a³＞27，∴a＞3．
綜上，a的取值范圍是（3，+∞）．（12分）

點評：此題考查學生利用導數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，是一道中檔題．