Question

已知函數(shù)f（x）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=1+

1

x-1

；
（1）求f（2）的值及y=f（x）的解析式；
（2）用定義法判斷y=f（x）在區(qū)間（-∞，0]的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由于f（x）為偶函數(shù)，則f（2）=f（-2），代入已知函數(shù)式即可得到；運(yùn)用偶函數(shù)的定義，又x＞0時(shí)，-x＜0，由已知函數(shù)即可得到f（x）的表達(dá)式；
（2）運(yùn)用單調(diào)性的定義證明，注意作差、變形、定符號(hào)和下結(jié)論等．

解答： 解：（1）由于f（x）為偶函數(shù)，則f（2）=f（-2）=1+

1

-2-1

=0，
又x＞0時(shí)，-x＜0，由函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，則f（-x）=f（x）=1+

1

-x-1

=1-

1

x+1

，
綜上：f（x）=

1+ 1 x-1 ，x≤0 1- 1 x+1 ，x＞0

；
（2）在（-∞，0]上任取x1，

x

2

，且x1＜

x

2

，則f(x1)-f(

x

2

)=(1+

1

x1-1

)-(1+

1

x2-1

)=

1

x1-1

-

1

x2-1

=

x2-x1

(x1-1)(x2-1)

；
由x₁-1＜0，x₂-1＜0，x₂-x₁＞0，則f(x1)-f(

x

2

)＞0，即f(x1)＞f(

x

2

)．
由定義可知：函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（-∞，0]單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷和運(yùn)用，考查運(yùn)用定義證明函數(shù)的單調(diào)性的方法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．