Question

已知f(x)=|

1

|x-1|-1

|，且關(guān)于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有k（k∈N^*）個根，則這k個根的和可能是

2、3、4、5、6、7、8

．（請寫出所有可能值）

Answer 1

分析：關(guān)于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有根，則方程t²+bt+c=0必有正根，根據(jù)絕對值的性質(zhì)，我們分別討論若方程t²+bt+c=0有兩個相等的正根α，且0＜α＜1時，α=1時，α=1時；
若方程t²+bt+c=0有兩個不等的正根α，β，且0＜α＜1，0＜α＜1，β=1時，0＜α＜1，β＞1時，α=1，0＜β＜1時，α=1，β=1時，α=1，β＞1時，α＞1，0＜β＜1時，α＞1，β=1時，α＞1，β＞1時，方程根的個數(shù)及和的值，即可得到答案．

解答：解：若關(guān)于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有k（k∈N^*）個根，
令t=f（x），則方程t²+bt+c=0必有正根
若方程t²+bt+c=0有兩個相等的正根α
當(dāng)0＜α＜1時，f(x)=|

1

|x-1|-1

|=α，|x-1|=1+

1

α

，此時關(guān)于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有2個根，2根之和為2；
當(dāng)α=1時，f(x)=|

1

|x-1|-1

|=1，|x-1|=2，或|x-1|=0，此時關(guān)于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有3個根，3根之和為3；
當(dāng)α=1時，f(x)=|

1

|x-1|-1

|=α，|x-1|=1±

1

α

，此時關(guān)于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有4個根，4根之和為4；
若方程t²+bt+c=0有兩個不等的正根α，β
當(dāng)0＜α＜1，0＜β＜1時，此時關(guān)于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有4個根，4根之和為4；
當(dāng)0＜α＜1，β=1時，此時關(guān)于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有5個根，5根之和為5；
當(dāng)0＜α＜1，β＞1時，此時關(guān)于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有6個根，6根之和為6；
當(dāng)α=1，0＜β＜1時，此時關(guān)于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有5個根，5根之和為5；
當(dāng)α=1，β=1時，此時關(guān)于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有6個根，6根之和為6；
當(dāng)α=1，β＞1時，此時關(guān)于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有7個根，7根之和為7；
當(dāng)α＞1，0＜β＜1時，此時關(guān)于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有6個根，6根之和為6；
當(dāng)α＞1，β=1時，此時關(guān)于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有7個根，7根之和為7；
當(dāng)α＞1，β＞1時，此時關(guān)于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有8個根，8根之和為8；
故答案為：2、3、4、5、6、7、8

點評：本題考查的知識點是帶絕對值的函數(shù)，函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系，其中分類討論是解答此類復(fù)雜問題最常用的方法，而本題中根據(jù)函數(shù)的解析式，確定分類標(biāo)準(zhǔn)是解答本題的關(guān)鍵．