Question

如圖，F(xiàn)₁、F₂是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是橢圓上的一點(diǎn)，且滿足|F₁F₂|=2|OP|，若∠PF₂F₁=5∠PF₁F₂，則橢圓的離心率為（　　）

• A、

  3

  2

• B、

  6

  3

• C、

  2

  2

• D、

  2

  3

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)題意可知∠F₁PF₂=90°，∠PF₁F₂=5∠PF₂F₁，進(jìn)而求得∠PF₁F₂和∠PF₂F₁，在Rt△PF₁F₂分別表示出|PF₁|和|PF₂|，進(jìn)而根據(jù)橢圓的定義表示出a，進(jìn)而求得a和c的關(guān)系，即橢圓的離心率．

解答： 解：∵|F₁F₂|=2|OP|，O是F₁F₂的中點(diǎn)，
∴∠F₁PF₂=90°
∵∠PF₁F₂=5∠PF₂F₁，
∴∠PF₁F₂=15°，∠PF₂F₁=75°
∴|PF₁|=|F₁F₂|sin∠PF₂F₁=2c•sin75°，∴|PF₂|=|F₁F₂|sin∠PF₁F₂=2c•sin15°，
∴2a=|PF₁|+|PF₂|=2c•sin75°+2c•sin15°=4csin45°cos30°=

6

c
∴a=

6

2

c
∴e=

c

a

=

6

3

故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．涉及了圓的性質(zhì)，解三角形問(wèn)題等．考查了學(xué)生綜合分析問(wèn)題的能力．