Question

（2013•門頭溝區(qū)一模）交通指數(shù)是交通擁堵指數(shù)的簡(jiǎn)稱，是綜合反映道路網(wǎng)暢通或擁堵的概念性指數(shù)值，交通指數(shù)取值范圍為0～10，分為五個(gè)級(jí)別，0～2 暢 通；2～4 基本暢通；4～6 輕度擁堵；6～8 中度擁堵；8～10 嚴(yán)重?fù)矶拢?BR>早高峰時(shí)段，從北京市交通指揮中心隨機(jī)選取了四環(huán)以內(nèi)的50個(gè)交通路段，依據(jù)其交通指數(shù)數(shù)據(jù)繪制的直方圖如圖．

（Ⅰ）這50個(gè)路段為中度擁堵的有多少個(gè)？
（Ⅱ）據(jù)此估計(jì)，早高峰四環(huán)以內(nèi)的三個(gè)路段至少有一個(gè)是嚴(yán)重?fù)矶碌母怕适嵌嗌伲?BR>（III）某人上班路上所用時(shí)間若暢通時(shí)為20分鐘，基本暢通為30分鐘，輕度擁堵為36分鐘；中度擁堵為42分鐘；嚴(yán)重?fù)矶聻?0分鐘，求此人所用時(shí)間的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)（0.2+0.16）×1×50=18可得這50路段為中度擁堵的數(shù)目；
（Ⅱ）設(shè)事件A“一個(gè)路段嚴(yán)重?fù)矶隆保瑒tP（A）=0.1．通過三個(gè)路段嚴(yán)重?fù)矶孪嗷オ?dú)立，故利用相互獨(dú)立事件乘法公式可求三個(gè)路段至少有一個(gè)是嚴(yán)重?fù)矶碌母怕剩?BR style="TEXT-ALIGN: left; WIDOWS: 2; TEXT-TRANSFORM: none; BACKGROUND-COLOR: rgb(255,255,255); TEXT-INDENT: 0px; FONT: 12px/21px 宋體, sans-serif; WHITE-SPACE: normal; ORPHANS: 2; LETTER-SPACING: normal; COLOR: rgb(0,0,0); WORD-SPACING: 0px; webkit-text-size-adjust: auto; webkit-text-stroke-width: 0px">（III）此人所用時(shí)間的隨機(jī)變量X取值為30，36，42，60，根據(jù)題意可求相應(yīng)的概率，進(jìn)而可求X的數(shù)學(xué)期望．

解答：解：（Ⅰ）（0.2+0.16）×1×50=18
這50路段為中度擁堵的有18個(gè)．                    …（3分）
（Ⅱ）設(shè)事件A“一個(gè)路段嚴(yán)重?fù)矶隆保瑒tP（A）=0.1
事件B“至少一個(gè)路段嚴(yán)重?fù)矶隆�，則P（

.

B

）=（1-P（A））³=0.729
P（B）=1-P（

.

B

）=0.271．
所以三個(gè)路段至少有一個(gè)是嚴(yán)重?fù)矶碌母怕适?.271…（8分）
（III）設(shè)此人所用時(shí)間為X分鐘，X分布列如下表：

X	30	36	42	60
P	0.1	0.44	0.36	0.1

EX=30×0.1+36×0.44+42×0.36+60×0.1=39.96
此人經(jīng)過該路段所用時(shí)間的數(shù)學(xué)期望是39.96分鐘．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題以實(shí)際問題為素材，考查離散型隨機(jī)變量的概率及期望，關(guān)鍵是正確運(yùn)用公式．屬于中檔題．