Question

【題目】某人玩擲正方體骰子走跳棋的游戲，已知骰子每面朝上的概率都是，棋盤上標有第0站，第1站，第2站，……，第100站.一枚棋子開始在第0站，選手每擲一次骰子，棋子向前跳動一次，若擲出朝上的點數為1或2，棋子向前跳兩站；若擲出其余點數，則棋子向前跳一站，直到跳到第99站或第100站時，游戲結束；設游戲過程中棋子出現在第站的概率為.

（1）當游戲開始時，若拋擲均勻骰子3次后，求棋子所走站數之和X的分布列與數學期望；

（2）證明：；

（3）若最終棋子落在第99站，則記選手落敗，若最終棋子落在第100站，則記選手獲勝，請分析這個游戲是否公平.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）證明見解析；（3）游戲不公平，詳見解析

【解析】

（1）隨機變量X的所有可能取值為3，4，5，6，計算概率得到分布列，計算得到數學期望.

（2）根據題意得到，化簡得到.

（3）計算得到，，得到答案.

（1）隨機變量X的所有可能取值為3，4，5，6，

，

，

所以，隨機變量X的分布列為：

.

（2）由題意知，當時，棋子要到第站，有兩種情況：

①由第n站跳1站得到，其概率為；

②由第站跳2站得到，其概率為

，，

，

（3）由（2）知，當棋子落到第99站游戲結束的概率為，

當棋子落到第100站游戲結束的概率為，

，最終棋子落在第99站的概率大于落在第100站的概率，

游戲不公平.