Question

已知函數(shù)f（x）=2^x-

1

2x

（1）判斷函數(shù)的奇偶性、增減性并證明．
（2）若f（x）中，x=sinα+cosα，α∈（-

π

2

，0），且f（1-m）+f（1-m²）＜0，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,三角函數(shù)的求值

分析：根據(jù)奇偶性的定義不難判斷原函數(shù)的奇偶性，增減性的判斷通過(guò)求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，再判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，即可判斷函數(shù)f（x）的增減性．
第二問(wèn)中，先根據(jù)a的范圍來(lái)確定x的范圍，這要用到兩角和的正弦公式．求出x范圍之后，對(duì)于1-m，1-m²都要在這個(gè)范圍中．再根據(jù)函數(shù)f（x）的奇偶性和單調(diào)性，把條件f（1-m）+f（1-m²）＜0變成f（1-m）＜f（m²-1），并得到1-m＜m²-1，結(jié)合前面求的關(guān)于m的不等式，便可求出m的取值范圍．

解答： 解：原函數(shù)的定義域是R．
（1）f（-x）=2-x-

1

2-x

=-(2x-

1

2x

)=-f（x），
∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
∵f（x）=2^x-

1

2x

=（2^x）+（-

1

2x

），
∴函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)．
（2）∵x=sina+cosa=

2

sin(a+

π

4

)，a∈(-

π

2

，0)
∴x∈（-1，1）
又f（1-m）+f（1-m²）＜0
∴根據(jù)（1）的結(jié)論f（x）在R上是奇函數(shù)，是增函數(shù)；
∴f（1-m）＜f（m²-1）
m應(yīng)該滿足：

-1＜1-m＜1 -1＜1-m2＜1 1-m＜m2-1

，解得：1＜m＜

2

．
∴m的取值范圍是(1，

2

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)為函數(shù)奇偶性的定義，對(duì)于第二問(wèn)，需要先根據(jù)a的范圍求出x的范圍，從而限制1-m，1-m²的取值在這個(gè)范圍內(nèi)．還要注意的是對(duì)f（1-m）+f（1-m²）＜0的變形處理．