Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為，數(shù)列{b_n}中b₁=8，b_n=64b_n+1．
（1）求{b_n}的通項(xiàng)b_n；
（2）證明{a_n}是等差數(shù)列；
（3）是否存在常數(shù)a、b，使得對一切正整數(shù)n都有a_n=log_ab_n+b成立．若存在，求出a、b的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1），
∴，
∴…（3分）
（2）當(dāng)n≥2時(shí)：
又n=1時(shí)：a₁=S₁=8=6×1+2
∴a_n=6n+2．…（6分）
∴a_n-a_n-1=6n+2-6（n-1）-2=6
∴{a_n}是等差數(shù)列 …（7分）
（3）假設(shè)存在這樣的a、b，使得對一切自然數(shù)n都有a_n=log_ab_n+b成立，則=．
令…（10分）
，
∴
∴存在這樣的數(shù)．…（12分）
分析：（1）由數(shù)列{b_n}中b₁=8，b_n=64b_n+1．能求出公式，由此能求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式
（2）由數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為，能求出a_n=6n+2，由此能夠證明{a_n}是等差數(shù)列．
（3）假設(shè)存在這樣的a、b，使得對一切自然數(shù)n都有a_n=log_ab_n+b成立，則，由此入手，能夠求出a、b的值．
點(diǎn)評：本試題主要考查等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解以及數(shù)列的綜合運(yùn)用．綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，對數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．