設(shè)y=f(x)是定義在區(qū)間[-1,1]上的函數(shù),且滿足條件:(i)f(-1)=f(1)=0;(ii)對(duì)任意的u,v∈[-1,1],都有|f(u)-f(v)|≤|u-v|.
(Ⅰ)證明:對(duì)任意的x∈[-1,1],都有x-1≤f(x)≤1-x;
(Ⅱ)判斷函數(shù)g(x)=
1+x,x∈[-1,0)
1-x,x∈[0,1]
是否滿足題設(shè)條件;
(Ⅲ)在區(qū)間[-1,1]上是否存在滿足題設(shè)條件的函數(shù)y=f(x),且使得對(duì)任意的u,v∈[-1,1],都有|f(u)-f(v)|=u-v.
若存在,請(qǐng)舉一例:若不存在,請(qǐng)說明理由.
(Ⅰ)證明:由題設(shè)條件可知,當(dāng)x∈[-1,1]時(shí),有|f(x)|=|f(x)-f(1)|≤|x-1|=1-x,
即x-1≤f(x)≤1-x.
(Ⅱ)函數(shù)g(x)滿足題設(shè)條件.
驗(yàn)證如下:g(-1)=0=g(1).
對(duì)任意的u,v∈[-1,1],
當(dāng)u,v∈[0,1]時(shí),有|g(u)-g(v)|=|(1-u)-(1-v)|=|u-v|;
當(dāng)u,v∈[-1,0]時(shí),同理有|g(u)-g(v)|=|u-v|;
當(dāng)u•v<0,不妨設(shè)u∈[-1,0),v∈(0,1],有|g(u)-g(v)|=|(1+u)-(1-v)|=|u+v|≤|v-u|.
所以,函數(shù)g(x)滿足題設(shè)條件.
(Ⅲ)這樣滿足的函數(shù)不存在.
理由如下:假設(shè)存在函數(shù)f(x)滿足條件,則由f(-1)=f(1)=0,得|f(1)-f(-1)|=0,①
由于對(duì)任意的u,v∈[-1,1],都有|f(u)-f(v)|=|u-v|.
所以,|f(1)-f(-1)|=|1-(-1)|=2.②
①與②矛盾,因此假設(shè)不成立,即這樣的函數(shù)不存在.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)y=f(x)是定義在區(qū)間(a,b)(b>a)上的函數(shù),若對(duì)?x1、x2∈(a,b),都有|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|,則稱y=f(x)是區(qū)間(a,b)上的平緩函數(shù).
(1)試證明對(duì)?k∈R3,f(x)=x2+kx+14都不是區(qū)間(-1,1)5上的平緩函數(shù);
(2)若f(x)是定義在實(shí)數(shù)集R上的、周期為T=2的平緩函數(shù),試證明對(duì)?x1、x2∈R,|f(x1)-f(x2)|≤1.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2003•北京)設(shè)y=f(x)是定義在區(qū)間[-1,1]上的函數(shù),且滿足條件:(i)f(-1)=f(1)=0;(ii)對(duì)任意的u,v∈[-1,1],都有|f(u)-f(v)|≤|u-v|.
(Ⅰ)證明:對(duì)任意的x∈[-1,1],都有x-1≤f(x)≤1-x;
(Ⅱ)判斷函數(shù)g(x)=
1+x,x∈[-1,0)
1-x,x∈[0,1]
是否滿足題設(shè)條件;
(Ⅲ)在區(qū)間[-1,1]上是否存在滿足題設(shè)條件的函數(shù)y=f(x),且使得對(duì)任意的u,v∈[-1,1],都有|f(u)-f(v)|=u-v.
若存在,請(qǐng)舉一例:若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2003•北京)設(shè)y=f(x)是定義在區(qū)間[-1,1]上的函數(shù),且滿足條件,①f(-1)=f(1)=0,②對(duì)任意的u、v∈[-1,1],都有|f(u)-f(v)|≤|u-v|
(Ⅰ)證明:對(duì)任意x∈[-1,1],都有x-1≤f(x)≤1-x
(Ⅱ)證明:對(duì)任意的u,v∈[-1,1]都有|f(u)-f(v)|≤1
(Ⅲ)在區(qū)間[-1,1]上是否存在滿足題設(shè)條件的奇函數(shù)y=f(x)且使得
|f(u)-f(v)|<|u-v|uv∈[0,
1
2
]
|f(u)-f(v)|=|u-v|uv∈[
1
2
,1]
;若存在請(qǐng)舉一例,若不存在,請(qǐng)說明理由.

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