Question

如圖，已知四棱錐，底面為菱形，平面，，分別是的中點(diǎn)．

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）若為上的動(dòng)點(diǎn)，與平面所成最大角的正切值為，求二面角的余弦值．

Answer 1

解：（Ⅰ）證明：由四邊形為菱形，，可得為正三角形．

因?yàn)?sub>為的中點(diǎn)，所以．

又，因此．

因?yàn)?sub>平面，平面，所以．

而平面，平面且，

所以平面．又平面，

所以．                                                       

（Ⅱ）解：設(shè)，為上任意一點(diǎn)，連接．

由（Ⅰ）知平面，

則為與平面所成的角．        

在中，，

所以當(dāng)最短時(shí)，最大，

即當(dāng)時(shí)，最大．              

此時(shí)，           

因此．又，所以，

所以．                                                       

解法一：因?yàn)?sub>平面，平面，

所以平面平面．

過(guò)作于，則平面，

過(guò)作于，連接，則為二面角的平面角，

在中，，，

又是的中點(diǎn)，在中，，

又，

在中，，

即所求二面角的余弦值為．                                        

解法二：由（Ⅰ）知兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，又分別為的中點(diǎn)，所以

，

，

所以．

設(shè)平面的一法向量為，

則因此

取，則，

因?yàn)?sub>，，，

所以平面，

故為平面的一法向量．

又，

所以．

因?yàn)槎�面�?sub>為銳角，

所以所求二面角的余弦值為．