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已知函數f(x)=2ax-
3
2
x2-3lnx,其中a∈R,為常數
(1)若f(x)在x∈[1,+∞)上是減函數,求實數a的取值范圍;
(2)若x=3是f(x)的極值點,求f(x)在x∈[1,a]上的最大值.
考點:利用導數求閉區(qū)間上函數的最值,利用導數研究函數的單調性
專題:導數的綜合應用
分析:(1)由題意知f'(x)≤0對x∈[1,+∞)恒成立,即
-3x2+2ax-3
x
≤0
,由此利用均值定理能求出實數a的取值范圍.
(2)依題意f'(3)=0,從而解得a=5,由此利用導數性質能求出f(x)的最大值.
解答: 解:(1)∵f(x)=2ax-
3
2
x2-3lnx,
∴x>0,f′(x)=2a-3x-
3
x
=
-3x2+2ax-3
x
,
∵f(x)在x∈[1,+∞)上是減函數,
∴f'(x)≤0對x∈[1,+∞)恒成立,即
-3x2+2ax-3
x
≤0

又x>0,∴-3x2+2ax-3≤0恒成立,
3(x+
1
x
)≥2a
恒成立,6≥2a,
∴a≤3,即實數a的取值范圍是(-∞,3].
(2)∵x=3是f(x)的極值點,
∴f'(3)=0,即
-3•32+2a•3-3
3
=0
,解得a=5,
此時f′(x)=
-3x2+10x-3
x
=-
(x-3)(3x-1)
x

當x∈[1,3]時,f'(x)≥0,原函數遞增,
當x∈[3,5]時,f'(x)≤0,原函數遞減;
∴f(x)最大值為f(3)=
33
2
-3ln3
點評:本題考查實數的取值范圍的求法,考查函數的最大值的求法,解題時要認真審題,注意導數性質的合理運用.
練習冊系列答案
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若tanα=
1
2
,tanβ=
1
3
,則tan(α+β)=(  )
A、
5
7
B、
5
6
C、1
D、2

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2
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,乙每次擊中目標的概率為
1
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.記甲擊中目標的次數為ξ,乙每次擊中目標的概率為η.
(1)求ξ的概率分布.
(2)求ξ和η的數學期望.

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3
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a
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b
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a
與向量
b
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π
4
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π
8
,
4
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派出人數 2人及以下 3 4 5 6人及以上
概率 0.1 0.46 0.3 0.1 0.04
(1)求有4個人或5個人培訓的概率;
(2)求至少有3個人培訓的概率.

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在三棱柱ABCA1B1C1中,棱AA1與底面ABC垂直,△ABC為等腰直角三角形,AB=AC=AA1,D,E,F分別為B1A,C1C,BC的中點.
(1)求證:DE∥平面ABC;
(2)求證:平面AB1F⊥平面AEF.

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