Question

已知函數(shù)是奇函數(shù)，并且函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，3），
（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）求函數(shù)f（x）的值域；
（3）證明函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，并寫出f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

【答案】分析：法一：（1）由函數(shù)是奇函數(shù)，并且函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，3），知，由此能求出a，b．
（2）由f（x）==1+，知2^x-1＞-1，且2^x-1≠0，知，或，由此能求出f（x）的值域．
（3）在（0，+∞）上任取x₁，x₂，令x₁＜x₂，利用定義法能證明函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，再由函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，能求出f（x）的單調(diào)減區(qū)間．
法二：（1）由f（x）是奇函數(shù)，知，由此能求出a，b．
（2）由y=f（x）=，知＞0，由此能求出f（x）的值域．
（3）在（0，+∞）上任取x₁，x₂，令x₁＜x₂，利用定義法能證明函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，再由函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，能求出f（x）的單調(diào)減區(qū)間．
解答：解法一：（1）：函數(shù)是奇函數(shù)，并且函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，3），
∴，（3分）即，（4分）
解得a=1，b=-1．經(jīng)檢驗(yàn)f（x）為奇函數(shù)，
故a=1，b=-1．（5分）
（2）∵a=1，b=-1．
∴f（x）==1+，（7分）
∵2^x＞0，
∴2^x-1＞-1，且2^x-1≠0，∴，或，
∴f（x）＜-1，或f（x）＞1．
∴f（x）的值域?yàn)椋?∞，-1）∪（1，+∞）．（10分）
（3）在（0，+∞）上任取x₁，x₂，令x₁＜x₂，
則f（x₂）-f（x₁）==，
∵0＜x₁＜x₂，
∴，，，
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減
∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，∴f（x）在（-∞，0）上也是遞減，（15分）
∴f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，0），（0，+∞）．（16分）  
解法二：（1）∵f（x）是奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），即，
得（ab+1）•2^2x+2（a+b）•2^x+ab+1=0，
∴，得，或，…（3分）
又∵f（1）=3，∴，即2a-3b=5，
∴a=1，b=-1．…（5分）
（2）∵a=1，b=-1，∴y=f（x）=，∴，（7分）
∵2^x＞0，∴，解得y＜-1，或y＞1．
∴f（x）的值域?yàn)椋?∞，-1）∪（1，+∞）．（10分）
（3）在（0，+∞）上任取x₁，x₂，令x₁＜x₂，
則f（x₂）-f（x₁）==，
∵0＜x₁＜x₂，
∴，，，
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減
∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，∴f（x）在（-∞，0）上也是遞減，（15分）
∴f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，0），（0，+∞）．（16分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的解析式的求法，考查函數(shù)的值域的求法，考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意待定系數(shù)法、分離常數(shù)法、定義法和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)奇偶性的合理運(yùn)用．