已知函數(shù)是奇函數(shù),并且函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,3),
(1)求實(shí)數(shù)a,b的值;
(2)求函數(shù)f(x)的值域;
(3)證明函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,并寫出f(x)的單調(diào)區(qū)間.
【答案】分析:法一:(1)由函數(shù)是奇函數(shù),并且函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,3),知,由此能求出a,b.
(2)由f(x)==1+,知2x-1>-1,且2x-1≠0,知,或,由此能求出f(x)的值域.
(3)在(0,+∞)上任取x1,x2,令x1<x2,利用定義法能證明函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,再由函數(shù)f(x)是奇函數(shù),能求出f(x)的單調(diào)減區(qū)間.
法二:(1)由f(x)是奇函數(shù),知,由此能求出a,b.
(2)由y=f(x)=,知>0,由此能求出f(x)的值域.
(3)在(0,+∞)上任取x1,x2,令x1<x2,利用定義法能證明函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,再由函數(shù)f(x)是奇函數(shù),能求出f(x)的單調(diào)減區(qū)間.
解答:解法一:(1):函數(shù)是奇函數(shù),并且函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,3),
,(3分)即,(4分)
解得a=1,b=-1.經(jīng)檢驗(yàn)f(x)為奇函數(shù),
故a=1,b=-1.(5分)
(2)∵a=1,b=-1.
∴f(x)==1+,(7分)
∵2x>0,
∴2x-1>-1,且2x-1≠0,∴,或,
∴f(x)<-1,或f(x)>1.
∴f(x)的值域?yàn)椋?∞,-1)∪(1,+∞).(10分)
(3)在(0,+∞)上任取x1,x2,令x1<x2,
則f(x2)-f(x1)==,
∵0<x1<x2
,,
∴f(x2)-f(x1)<0,
∴函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減
∵函數(shù)f(x)是奇函數(shù),∴f(x)在(-∞,0)上也是遞減,(15分)
∴f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(-∞,0),(0,+∞).(16分)  
解法二:(1)∵f(x)是奇函數(shù),
∴f(-x)=-f(x),即
得(ab+1)•22x+2(a+b)•2x+ab+1=0,
,得,或,…(3分)
又∵f(1)=3,∴,即2a-3b=5,
∴a=1,b=-1.…(5分)
(2)∵a=1,b=-1,∴y=f(x)=,∴,(7分)
∵2x>0,∴,解得y<-1,或y>1.
∴f(x)的值域?yàn)椋?∞,-1)∪(1,+∞).(10分)
(3)在(0,+∞)上任取x1,x2,令x1<x2
則f(x2)-f(x1)==,
∵0<x1<x2,
,,,
∴f(x2)-f(x1)<0,
∴函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減
∵函數(shù)f(x)是奇函數(shù),∴f(x)在(-∞,0)上也是遞減,(15分)
∴f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(-∞,0),(0,+∞).(16分)
點(diǎn)評(píng):本題考查函數(shù)的解析式的求法,考查函數(shù)的值域的求法,考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷.解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意待定系數(shù)法、分離常數(shù)法、定義法和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)奇偶性的合理運(yùn)用.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=loga
x+1
x-1
,(a>0,且a≠1)
(Ⅰ)求函數(shù)的定義域,并證明f(x)=loga
x+1
x-1
在定義域上是奇函數(shù);
(Ⅱ)對(duì)于x∈[2,4]f(x)=loga
x+1
x-1
>loga
m
(x-1)2(7-x)
恒成立,求m的取值范圍;
(Ⅲ)當(dāng)n≥2,且n∈N*時(shí),試比較af(2)+f(3)+…+f(n)與2n-2的大。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

17、已知函數(shù)f(x)=2x+2-x
(1)判斷函數(shù)的奇偶性.
(2)說出函數(shù)在(0,+∞)的是增函數(shù)還是減函數(shù)?并證明.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
ax-1
ax+1
(a>0且a≠1),設(shè)函數(shù)g(x)=f(x-
1
2
)+1

(1)求證:f(x)是奇函數(shù);
(2)求g(x)+g(1-x)及g( 0 )+g( 
1
4
 )+g( 
1
2
 )+g( 
3
4
 )+g( 1 )
的值;
(3)是否存在正整數(shù)a,使不等式
a
•g(n)
g(1-n)
n2
對(duì)一切n∈N*都成立,若存在,求出正整數(shù)a的最小值;不存在,說明理由;
(4)結(jié)合本題加以推廣:設(shè)F(x)是R上的奇函數(shù),請(qǐng)你寫出一個(gè)函數(shù)G(x)的解析式;并根據(jù)第(2)小題的結(jié)論,猜測函數(shù)G(x)滿足的一般性結(jié)論.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(13分)已知函數(shù)是奇函數(shù),且.

(1)求函數(shù)的解析式;(2)判斷函數(shù)上的單調(diào)性,并加以證明.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案