Question

已知半徑為5的圓的圓心在軸上，圓心的橫坐標(biāo)是整數(shù)，且與直線相切．

求：（1）求圓的方程；

（2）設(shè)直線與圓相交于兩點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，是否存在實(shí)數(shù)，使得過(guò)點(diǎn)的直線垂直平分弦？

若存在，求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

（1）（2）

（3）

【解析】

試題分析：（1）設(shè)圓心為（）,利用直線與圓相切的位置關(guān)系，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式列方程解得的值，從而確定圓的方程；

（2）直線與圓交于不同的兩點(diǎn)，利用圓心到直線的距離小于圓的半徑列不等式從而解出實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，垂直平分弦的直線必過(guò)圓心，從而由兩點(diǎn)確定直線的斜率，進(jìn)一步由兩直線垂直的條件確定實(shí)數(shù)的值.

試題解析：（1）設(shè)圓心為（）．

由于圓與直線相切，且半徑為，所以，，

即．因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111721223981491614/SYS201411172122475809921917_DA/SYS201411172122475809921917_DA.016.png">為整數(shù)，故．

故所求的圓的方程是．

（2）直線即．代入圓的方程，消去整理，得

．由于直線交圓于兩點(diǎn)，

故，即，解得 ，或．

所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．

（3）設(shè)符合條件的實(shí)數(shù)存在，由（2）得，則直線的斜率為，

的方程為，即．

由于垂直平分弦，故圓心必在上．

所以，解得．由于，

所以存在實(shí)數(shù)，使得過(guò)點(diǎn)的直線垂直平分弦.

考點(diǎn)：1、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2、直線與圓的位置關(guān)系.