Question

求與兩定圓x²+y²=1，x²+y²-8x-33=0都相切的動(dòng)圓圓心的軌跡方程．

Answer 1

分析：設(shè)出動(dòng)圓圓心的坐標(biāo)，依據(jù)內(nèi)切和外切，動(dòng)圓圓心到兩個(gè)定圓的圓心的距離分別等于半徑的和與差，來(lái)求得結(jié)果．

解答：解：（1） 將⊙O₁的x²+y²-8x-33=0方程化為（x-4）²+y²=49，
∴O₁（4，0），r₁=7，設(shè)動(dòng)圓圓心為C（x，y）．
由兩圓相切時(shí)圓心距與兩圓半徑的關(guān)系，有：
7-|O₁C|=|OC|-1
即O₁C|+|OC|=8也就是說(shuō)C點(diǎn)到點(diǎn)O₁、O的距離之和等于8
由橢圓的定義知到C的軌跡是以（0，0）和（4，0）為焦點(diǎn)
長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8的橢圓，a=4，c=2，b²=12
∴動(dòng)圓圓心C的軌跡方程為

(x-2)2

16

+

y2

12

=1
（2）當(dāng)動(dòng)圓C與⊙O₁和⊙O都內(nèi)切時(shí)，由O₁C|+|OC|=6同理可得
動(dòng)圓圓心C的軌跡方程為

(x-2)2

9

+

y2

5

=1
綜上動(dòng)圓圓心C的軌跡方程為

(x-2)2

16

+

y2

12

=1或

(x-2)2

9

+

y2

5

=1

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩圓的位置關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化的思想，是中檔題．