已知關(guān)于x的方程mx2-3(m-1)x+2m-3=0.
(1)求證:無論m取任何實(shí)數(shù)時(shí),方程總有實(shí)數(shù)根;
(2)若關(guān)于x的二次函數(shù)y1=mx2-3(m-1)x+2m-3的圖象關(guān)于y軸對稱.
①求這個(gè)二次函數(shù)的解析式;
②已知一次函數(shù)y2=2x-2,證明:在實(shí)數(shù)范圍內(nèi),對于x的同一個(gè)值,這兩個(gè)函數(shù)所對應(yīng)的函數(shù)值y1≥y2均成立;
(3)在(2)的條件下,若二次函數(shù)y3=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)(-5,0),且在實(shí)數(shù)范圍內(nèi),對于x的同一個(gè)值,這三個(gè)函數(shù)所對應(yīng)的函數(shù)值y1≥y3≥y2均成立.求二次函數(shù)y3=ax2+bx+c的解析式.
分析:(1)首先此題的方程并沒有明確是一次方程還是二次方程,所以要分類討論:
①m=0,此時(shí)方程為一元一次方程,經(jīng)計(jì)算可知一定有實(shí)數(shù)根;
②m≠0,此時(shí)方程為二元一次方程,可表示出方程的根的判別式,然后結(jié)合非負(fù)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行證明.
(2)①由于拋物線的圖象關(guān)于y軸對稱,那么拋物線的一次項(xiàng)系數(shù)必為0,可據(jù)此求出m的值,從而確定函數(shù)的解析式;
②此題可用作差法求解,令y1-y2,然后綜合運(yùn)用完全平方式和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行證明.
(3)根據(jù)②的結(jié)論,易知y1、y2的交點(diǎn)為(1,0),由于y1≥y3≥y2成立,即三個(gè)函數(shù)都交于(1,0),結(jié)合點(diǎn)(-5,0)的坐標(biāo),可用a表示出y3的函數(shù)解析式;已知y3≥y2,可用作差法求解,令y=y3-y2,可得到y(tǒng)的表達(dá)式,由于y3≥y2,所以y≥0,可據(jù)此求出a的值,即可得到拋物線的解析式.
解答:解:(1)分兩種情況:
當(dāng)m=0時(shí),原方程化為3x-3=0,解得x=1,
∴當(dāng)m=0,原方程有實(shí)數(shù)根.(1分)
當(dāng)m≠0時(shí),原方程為關(guān)于x的一元二次方程,
∵△=[-3(m-1)]
2-4m(2m-3)=m
2-6m+9=(m-3)
2≥0.
∴原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.
綜上所述,m取任何實(shí)數(shù)時(shí),方程總有實(shí)數(shù)根.(3分)
(2)①∵關(guān)于x的二次函數(shù)y
1=mx
2-3(m-1)x+2m-3的圖象關(guān)于y軸對稱,
∴3(m-1)=0.∴m=1.∴拋物線的解析式為y
1=x
2-1…(5分)
②∵y
1-y
2=x
2-1-(2x-2)=(x-1)
2≥0,
∴y
1≥y
2(當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí),等號(hào)成立).…(6分)
(3)由②知,當(dāng)x=1時(shí),y
1=y
2=0.∴y
1、y
2的圖象都經(jīng)過(1,0).
∵對于x的同一個(gè)值,y
1≥y
3≥y
2,
∴y
3=ax
2+bx+c的圖象必經(jīng)過(1,0).(7分)
又∵y
3=ax
2+bx+c經(jīng)過(-5,0),∴y
3=a(x-1)(x+5)=ax
2+4ax-5a.
設(shè)y=y
3-y
2=ax
2+4ax-5a-(2x-2)=ax
2+(4a-2)x+(2-5a).
∵對于x的同一個(gè)值,這三個(gè)函數(shù)所對應(yīng)的函數(shù)值y
1≥y
3≥y
2均成立,
∴y
3-y
2≥0,
∴y=ax
2+(4a-2)x+(2-5a)≥0.
又根據(jù)y
1、y
2的圖象可得 a>0,
∴
y最小=≥0.
∴(4a-2)
2-4a(2-5a)≤0.∴(3a-1)
2≤0.
而(3a-1)
2≥0.只有3a-1=0,解得
a=.
∴拋物線的解析式為
y3=x2+x-…(10分)
點(diǎn)評(píng):此題主要考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系、根的判別式、完全平方公式、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)以及用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式的方法,難度較大.