Question

拋物線y²=2px（p＞0）上縱坐標為-p的點M到焦點的距離為2．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）如圖，A，B，C為拋物線上三點，且線段MA，MB，MC與x軸交點的橫坐標依次組成公差為1的等差數(shù)列，若△AMB的面積是△BMC面積的，求直線MB的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)點M的坐標，代入拋物線方程，利用點M到焦點的距離為2，根據(jù)拋物線定義，可求p的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知拋物線方程為y²=4x，M（1，-2）．分類討論，確定直線MB的方程，利用x₁，x₂，x₃依次組成公差為1的等差數(shù)列，確定y₁，y₂，y₃組成公差為2的等差數(shù)列，根據(jù)△AMB的面積是△BMC面積的，可求直線MB的方程．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)M（x，-p），則（-p）²=2px，∴，
由拋物線定義，得
∴p=2，x=1．              …（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知拋物線方程為y²=4x，M（1，-2）．
設(shè)，，（y₁，y₂，y₃均大于零）  …（6分）
則MA，MB，MC與x軸交點的橫坐標依次為x₁，x₂，x₃．
（1）當MB⊥x軸時，直線MB的方程為x=1，則x₁=0，不合題意，舍去．…（7分）
（2）MB與x軸不垂直時，，
設(shè)直線MB的方程為，即4x-（y₂-2）y-2y₂=0，
令y=0得2x₂=y₂，同理2x₁=y₁，2x₃=y₃，…（10分）
因為x₁，x₂，x₃依次組成公差為1的等差數(shù)列，
所以y₁，y₂，y₃組成公差為2的等差數(shù)列．     …（12分）
設(shè)點A到直線MB的距離為d_A，點C到直線MB的距離為d_C，
因為S_△BMC=2S_△AMB，所以d_C=2d_A，
所以…（14分）
得|y₂+4|=2|y₂|，即y₂+4=2y₂，所以y₂=4，
所以直線MB的方程為：2x-y-4=0…（15分）
點評：本題考查拋物線的定義，考查直線的方程，考查分類討論的數(shù)學思想，考查學生的計算能力，屬于中檔題．