設定義在R上的函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d滿足：①函數(shù)f(x)的圖象過點P(3，－6)；②函數(shù)f(x)在x1、x2處取得極值，且|x1－x2|＝4；③函數(shù)y＝f(x－1)的圖象關于點(1，0)對稱．

(1)求f(x)的表達式；

(2)若α，β∈R，求證：；

(3)求過點P(3，－6)與函數(shù)f(x)的圖象相切的直線方程．

答案：
解析：

　　解：(1)∵關于對稱

　　∴關于對稱

　　∴函數(shù)為奇函數(shù)

　　∴，∴

　　，令得

　　∴

　　∴　　　　�、�

　　又∵　　②

　　∴由①�、诮獾�

　　∴　　　　5分

　　(2)由得

　　∴在上單調遞減

　　∵，

　　∴　　9分

　　(3)∵

　　設切點坐標為

　　∴切線方程為

　　∵切線過

　　∴

　　解之得

　　∴過點與函數(shù)的圖象相切的切線方程為：

　　或　　14分


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設定義在R上的函數(shù)f（x）=
1
x-2
(x＞2)
1
2-x
(x＜2)
1(x=2)
，若關于x的方程f2（x）+af（x）+b=3有且只有3個不同實數(shù)解x1、x2、x3，且x1＜x2＜x3，則x12+x22+x32=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）•f（x+2）=3，若f（1）=2，則f（5）=
2
2
；f（2011）=
3
2
3
2
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•順義區(qū)二模）設定義在R上的函數(shù)f（x）是最小正周期為2π的偶函數(shù)，f′（x）是f（x）的導函數(shù)．當x∈[0，π]時，0＜f（x）＜1；當x∈（0，π）且x≠
π
2
時，(x-
π
2
)f′(x)＜0．則函數(shù)y=f（x）-cosx在[-3π，3π]上的零點個數(shù)為
6
6
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+π）=f（x-π），f（
π
2
-x）=f（
π
2
+x），當x∈[-
π
2
，
π
2
]時，0＜f（x）＜1；當x∈(-
π
2
，
π
2
)且x≠0時，x•f′（x）＜0，則y=f（x）與y=cosx的圖象在[-2π，2π]上的交點個數(shù)是（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設定義在R上的函數(shù)f（x）同時滿足以下條件：①f（x+1）=-f（x）對任意的x都成立；②當x∈[0，1]時，f（x）=ex-e•cos
πx
2
+m（其中e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)，m是常數(shù)）．記f（x）在區(qū)間[2013，2016]上的零點個數(shù)為n，則（　�。�
A、m=-
1
2
，n=6
B、m=1-e，n=5
C、m=-
1
2
，n=3
D、m=e-1，n=4

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