Question

10．已知函數(shù)f（x）=|x-1|+|x-2|，記f（x）的最小值為k．
（1）解不等式：f（x）≤x+1；
（2）是否存在正數(shù)a、b，同時滿足：2a+b=k，$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$=4？若存在，求出a、b的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）把要解的不等式等價轉化為與之等價的三個不等式組，求出每個不等式組的解集，再取并集，即得所求．
（2）利用絕對值三角不等式求得k的值，若2a+b=k=1，$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$=4，可得2a²-a+4=0，由于△=-31＜0，故此方程無解，故不存在正數(shù)a、b，同時滿足：2a+b=k，$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$=4．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=|x-1|+|x-2|，不等式 f（x）≤x+1，即|x-1|+|x-2|≤x+1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＜1}\\{1-x+2-x≤x+1}\end{array}\right.$ ①，或 $\left\{\begin{array}{l}{1≤x≤2}\\{x-1+2-x≤x+1}\end{array}\right.$ ②，或 $\left\{\begin{array}{l}{x＞2}\\{x-1+x-2≤x+1}\end{array}\right.$③．
解①求得$\frac{2}{3}$≤x＜1，解②求得1≤x≤2，解③求得2＜x≤4，
綜上可得不等式的解集為{x|$\frac{2}{3}$≤x≤4}．
（2）∵f（x）=|x-1|+|x-2|≥|（x-1）-（x-2）|=1，當且僅當1≤x≤2時，取等號，故f（x）的最小值為k=1．
若2a+b=k=1，$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$=4，則 $\frac{2a+b}{ab}$=$\frac{1}{ab}$=4，即ab=a（1-2a）=a-2a²=4，
化簡可得，2a²-a+4=0，由于△=-31＜0，故此方程無解，
故不存在正數(shù)a、b，同時滿足：2a+b=k，$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$=4．

點評 本題主要考查絕對值三角不等式的應用，解絕對值不等式，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．