如圖，△ABC的BC邊的中點(diǎn)為M，利用向量證明：AB2+AC2=2（AM2+BM2）．

【答案】分析：根據(jù)題意和向量加法的四邊形法則列出向量、和的關(guān)系，利用數(shù)量積和余弦定理把向量轉(zhuǎn)化為三角形中邊之間的關(guān)系．
解答：證明：設(shè)=，=，=，
∵BC邊的中點(diǎn)為M，
∴由四邊形法則得=，
∴•=•=•+•+2
=2+2+||•||•cos∠BAC
=||2+||2+||•||•
=AB2+AC2+（AB2+AC2-BC2）．
∴AM2=AB2+AC2-BC2．
又∵BC2=4BM2，
∴AB2+AC2=2（AM2+BM2）．
點(diǎn)評：本題考查了向量在幾何中的應(yīng)用，主要根據(jù)題意和圖形構(gòu)造向量，利用向量的運(yùn)算進(jìn)行求解或證明，常用知識點(diǎn)是：利用數(shù)量積運(yùn)算實(shí)現(xiàn)向量和實(shí)數(shù)之間的轉(zhuǎn)化．
練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

21、如圖，△ABC的外接圓的切線AE與BC的延長線相交于點(diǎn)E，∠BAC的平分線與BC交于點(diǎn)D．
求證：ED2=EB•EC．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，△ABC的BC邊的中點(diǎn)為M，利用向量證明：AB2+AC2=2（AM2+BM2）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

A．選修4-1：幾何證明選講
如圖，△ABC的外接圓的切線AE與BC的延長線相交于點(diǎn)E，∠BAC的平分線與BC
交于點(diǎn)D．求證：ED2=EB•EC．
B．選修4-2：矩陣與變換
求矩陣M=
-14
26
的特征值和特征向量．
C．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在以O(shè)為極點(diǎn)的極坐標(biāo)系中，直線l與曲線C的極坐標(biāo)方程分別是ρcos(θ+
π
4
)=
3
2
2
和ρsin2θ=4cosθ，直線l與曲線C交于點(diǎn)．A，B，C，求線段AB的長．
D．選修4-5：不等式選講
對于實(shí)數(shù)x，y，若|x-1|≤1，|y-2|≤1，求|x-y+1|的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，△ABC的BC邊的中點(diǎn)為M，利用向量證明：AB2+AC2=2（AM2+BM2）．

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