Question

如圖，F(xiàn)為雙曲線(xiàn)C：=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)．P為雙曲線(xiàn)C右支上一點(diǎn)，且位于x軸上方，M為左準(zhǔn)線(xiàn)上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．已知四邊形OFPM為平行四邊形，|PF|=λ|OF|．
（Ⅰ）寫(xiě)出雙曲線(xiàn)C的離心率e與λ的關(guān)系式；
（Ⅱ）當(dāng)λ=1時(shí)，經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F且平行于OP的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于A、B點(diǎn)，若|AB|=12，求此時(shí)的雙曲線(xiàn)方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)四邊形OFPM是平行四邊形，可知∴|OF|=|PM|=c，作雙曲線(xiàn)的右準(zhǔn)線(xiàn)交PM于H，根據(jù)雙曲線(xiàn)定義可表示出|PM|，進(jìn)而根據(jù)雙曲線(xiàn)第二定義表示出離心率e，化簡(jiǎn)整理即可得到e和λ的關(guān)系是．
（2）當(dāng)λ=1時(shí)，e=2，c=2a，b²=3a²，雙曲線(xiàn)為，根據(jù)四邊形OFPM是菱形，求的直線(xiàn)OP的斜率，進(jìn)而可知直線(xiàn)AB的方程代入到雙曲線(xiàn)方程，進(jìn)而表示出|AB|求得a，則b可得，進(jìn)而可求得雙曲線(xiàn)方程．
解答：解：（Ⅰ）∵四邊形OFPM是平行四邊形，
∴|OF|=|PM|=c，作雙曲線(xiàn)的右準(zhǔn)線(xiàn)交PM于H，則|PM|=|PH|+2×，
又e=，e²-λe-2=0．

（Ⅱ）當(dāng)λ=1時(shí)，e=2，|PF|=|OF|．
∴c=2a，b²=3a²，雙曲線(xiàn)為=1且平行四邊形OFPM是菱形，
由圖象，作PD⊥X軸于D，則直線(xiàn)OP的斜率為==，則直線(xiàn)AB的方程為y=（x-2a），代入到雙曲線(xiàn)方程得：
4x²+20ax-29a²=0，又|AB|=12，
由|AB|=，
得：12=，
解得a=1，
則b²=3，
所以x²-=1為所求．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程．考查了學(xué)生對(duì)雙曲線(xiàn)性質(zhì)的綜合掌握．