Question

已知圓M：（x+1）²+y²=8，定點N（1，0），點P為圓M上的動點，若Q在NP上，點G在MP上，且滿足．
（I）求點G的軌跡C的方程；
（II）直線l過點P（0，2）且與曲線C相交于A、B兩點，當(dāng)△AOB面積取得最大值時，求直線l的方程．

Answer 1

解：（I）∵
∴|GP|=|GN|
∴
∵|MN|=2
∴G是以M，N為焦點的橢圓
設(shè)曲線C：，得a²=2，b²=1
∴點G的軌跡C的方程為：（6分）
（II）由題意知直線l的斜率存在，
設(shè)直線l的方程為y=kx+2A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）
由得：（1+2k²）x²+8kx+6=0
由直線l與橢圓相交于A、B兩點，
∴
由根與系數(shù)關(guān)系得
令
∴
當(dāng)且僅當(dāng)，即m=2時，，此時
∴所求的直線方程為（13分）
分析：（I）由題設(shè)知GP|=|GN|，，由|MN|=2知G是以M，N為焦點的橢圓，由此能求出點G的軌跡C的方程．
（II）由題意知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=kx+2A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），由得：（1+2k²）x²+8kx+6=0，由直線l與橢圓相交于A、B兩點，再由根的判別式的根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解．
點評：本題考查直線和圓的位置關(guān)系，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意根的判別式的根與系數(shù)的關(guān)系的合理運用．