Question

如圖，在平行四邊形OABC中，點(diǎn)O是原點(diǎn)，點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)分別是（3，0）、（1，3），點(diǎn)D是線段AB上的中點(diǎn)．
（1）求AB所在直線的一般式方程；
（2）求直線CD與直線AB所成夾角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）利用AB∥OC，可得AB所在直線的斜率k_AB=k_OC，利用點(diǎn)斜式即可得出；
（2）由（1）知直線AB的方程：3x-y-9=0，利用BC∥x軸，可得y_B=3．進(jìn)而得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用向量的夾角公式即可得出cos∠CDB．

解答：解：（1）∵AB∥OC，∴AB所在直線的斜率k_AB=k_OC=

3-0

1-0

=3，
故AB所在的直線方程是y-0=3（x-3），即3x-y-9=0．
（2）由（1）知直線AB的方程：3x-y-9=0，
∵BC∥x軸，C（1，3），∴y_B=3．
令y=3，解得x=4，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，3），
則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(

7

2

，

3

2

)．

DC

=(-

5

2

，

3

2

)，

DB

=(

1

2

，

3

2

)．∴cos∠CDB=

DC • DB

| DC | | DB |

=

2 85

85

．
即直線CD與直線AB所成夾角的余弦值為

2 85

85

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行直線的斜率之間的關(guān)系、向量的運(yùn)算、向量的夾角公式、數(shù)量積運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法，屬于基礎(chǔ)題．