13.已知函數(shù)f(x)=ax2+bx-lnx(a,b∈R).
(1)當(dāng)a=-1,b=3時,求函數(shù)f(x)在[$\frac{1}{2}$,2]上的最大值和最小值;
(2)設(shè)a>0,且對于任意的x>0,f(x)≥f(1),試比較lna與-2b的大。

分析 (1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而求出函數(shù)的最大值和最小值即可;
(2)化簡出a,b的關(guān)系,再要研究的結(jié)論比較lna與-2b的大小構(gòu)造函數(shù)g(x)=2-4x+lnx,利用函數(shù)的最值建立不等式即可比較大小.

解答 解:(1)當(dāng)a=-1,b=3時,f(x)=-x2+3x-lnx,且x∈[$\frac{1}{2}$,2],
f′(x)=-2x+3-$\frac{1}{x}$=-$\frac{(2x-1)(x-1)}{x}$,
由f′(x)>0,得$\frac{1}{2}$<x<1;由f′(x)<0,得1<x<2,
所以函數(shù)f(x)在($\frac{1}{2}$,1)上單調(diào)遞增;
函數(shù)f(x)在(1,2)上單調(diào)遞減,
所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[$\frac{1}{2}$,2]僅有極大值點(diǎn)x=1,故這個極大值點(diǎn)也是最大值點(diǎn),
故函數(shù)在[$\frac{1}{2}$,2]上的最大值是f(1)=2,
又f(2)-f($\frac{1}{2}$)=$\frac{3}{4}$=ln4<0,
故f(2)<f($\frac{1}{2}$),故函數(shù)在[$\frac{1}{2}$,2]上的最小值為f(2)=2-ln2;
(2)由f(x)=ax2+bx-lnx(a,b∈R)
知f′(x)=2ax+b-$\frac{1}{x}$,
當(dāng)a>0時,令f′(x)=0,得2ax2+bx-1=0
由于△=b2+8a>0,故有
x2=$\frac{-b+\sqrt{^{2}+8a}}{4a}$,x1=$\frac{-b-\sqrt{^{2}+8a}}{4a}$顯然有x1<0,x2>0,
故在區(qū)間(0,$\frac{-b+\sqrt{^{2}+8a}}{4a}$)上,導(dǎo)數(shù)小于0,函數(shù)是減函數(shù);
在區(qū)間( $\frac{-b+\sqrt{^{2}+8a}}{4a}$,+∞)上,導(dǎo)數(shù)大于0,函數(shù)是增函數(shù)
由題意,函數(shù)f(x)在x=1處取到最小值,
故$\frac{-b+\sqrt{^{2}+8a}}{4a}$是函數(shù)的唯一極小值點(diǎn),
故$\frac{-b+\sqrt{^{2}+8a}}{4a}$=1
整理得2a+b=1,即b=1-2a
令g(x)=2-4x+lnx,則g′(x)=$\frac{1-4x}{x}$,
令g′(x)=0得x=$\frac{1}{4}$,
當(dāng)0<x<$\frac{1}{4}$時,g′(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增;
當(dāng)$\frac{1}{4}$<x<+∞時,g′(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減
因?yàn)間(x)≤g($\frac{1}{4}$)=1-ln4<0
故g(a)<0,即2-4a+lna=2b+lna<0,即lna<-2b.

點(diǎn)評 本題是函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合運(yùn)用題,解題的關(guān)鍵是熟練利用導(dǎo)數(shù)工具研究函數(shù)的單調(diào)性及根據(jù)所比較的兩個量的形式構(gòu)造新函數(shù)利用最值建立不等式比較大小,本題考查了創(chuàng)新探究能力及轉(zhuǎn)化化歸的思想,本題綜合性較強(qiáng),所使用的方法具有典型性,題后應(yīng)做好總結(jié)以備所用的方法在此類題的求解過程中使用.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

3.△ABC中,若b=4,c=3,A=60°,則a=$\sqrt{13}$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

4.某校1200名學(xué)生中,O型血有450人,A型血有a人,B型血有b人,AB型血有c人,且450,a,b,c成等差數(shù)列,為了研究血型與血虛的關(guān)系,從中抽取容量為48的樣本,按照分層抽樣的方法抽取樣本,則要抽取的A型血的人數(shù)為14.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

1.函數(shù)y=$\frac{ln|x|}{{x}^{2}}+\frac{1}{{x}^{2}}$在[-2,2]的圖象大致為( 。
A.B.
C.D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

8.將函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)+$\sqrt{3}$cos(2x+φ)(0<φ<π)的圖象向左平移$\frac{π}{4}$個單位后,得到的函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)$(\frac{π}{2},0)$對稱,則函數(shù)$g(x)=\frac{1}{2}sin(2x+φ)$在$[-\frac{π}{2},\frac{π}{6}]$上的最小值為( 。
A.$-\frac{1}{2}$B.$\frac{1}{2}$C.$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$D.$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

18.直線l過坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)(-1,2)關(guān)于直線y=x-1的對稱點(diǎn),則直線l的方程為2x+3y=0.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

5.若tanθ=$\frac{1}{2}$,則cos2θ=$\frac{3}{5}$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

2.若$\left\{{\sqrt{a_n}}\right\}$是首項(xiàng)為4,公比為2的等比數(shù)列,則log4a2016=2017.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

3.?dāng)?shù)列{an}滿足a1=1,a2=$\frac{1}{2}$,并且an(an-1+an+1)=2an+1an-1(n≥2),則a2016=(  )
A.2016B.2017C.$\frac{1}{2016}$D.$\frac{1}{2017}$

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案