Question

【題目】已知函數(shù)

（1）若函數(shù)在點處的切線方程為，求的值；

（2）若，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有唯一零點，求的取值范圍；

（3）若對任意的，均有，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1），；（2）或；（3）.

【解析】

試題本題考查導數(shù)的運算，利用導數(shù)求切線方程、判斷函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的最值等基礎(chǔ)知識，考查函數(shù)思想、分類討論思想，考查綜合分析和解決問題的能力.（1）先求導，將切點的橫坐標代入到導數(shù)中，得到切線的斜率，結(jié)合已知切線的斜率可求出的值，再由切點在切線上，可求出即切點的縱坐標，然后代入的解析式即可求出的值；（2）先將代入得到解析式，求導數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，因為在有唯一的零點，所以或，所以解得或；（3）屬于恒成立問題，通過分析題意，可以轉(zhuǎn)化為在上的最大值與最小值之差，因為，所以討論的正負來判斷的正負，當時，為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，當時，需列表判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值來決定最值的位置，這種情況中還需要討論與1的大小.

試題解析：(1)，所以，得

又，所以，得

（2）因為所以，

當時，，當時，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

又，可知在區(qū)間內(nèi)有唯一零點等價于

或

得或

(3)若對任意的，均有，等價于在上的最大值與最小值之差

（ⅰ）當時，在上，在上單調(diào)遞增

由，得

所以

（ⅱ）當時，由得

由得或

所以，同理

當，即時，，與題設(shè)矛盾

當，即時，恒成立

當，即時，恒成立

綜上所述，的取值范圍為.