Question

若關(guān)于x的方程x³-3x+m=0在[0，2]上有根，則m的取值范圍

1. A.
   m≤-2
2. B.
   -2≤m≤0
3. C.
   m≤2
4. D.
   -2≤m≤2

Answer 1

D
分析：由題意可得-m=x³-3x，x∈[0，2]，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在[0，1]上增，在[1，2]上減，由此求得函數(shù)-m在
[0，2]上的值域，從而求得m的范圍．
解答：由題意可知方程x³-3x+m=0在[0，2]上有解，則函數(shù)-m=x³-3x，x∈[0，2]．
求出此函數(shù)的值域，即可得到實(shí)數(shù)m的取值范圍．
令y=x³-3x，x∈[0，2]，則 y'=3x²-3，
令y'＞0，解得x＞1，故此函數(shù)在[0，1]上增，在[1，2]上減，
又當(dāng)x=1，y=-2； 當(dāng)x=2，y=2； 當(dāng)x=0，y=0．
∴函數(shù)y=x³-3x，x∈[0，2]的值域是[-2，2]，
故-m∈[-2，2]，∴m∈[-2，2]，
故選 D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查學(xué)生對(duì)一元三次方程的圖象的認(rèn)識(shí)，以及對(duì)函數(shù)值正負(fù)與圖象關(guān)系的利用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，
屬于基礎(chǔ)題．