Question

已知函數(shù)f(x)＝lnx－.

(1)當(dāng)時(shí)，判斷f(x)在定義域上的單調(diào)性；

(2)若f(x)在[1，e]上的最小值為，求的值.

 

Answer 1

【答案】

（1）f(x)在(0，＋∞)上是單調(diào)遞增函數(shù)

（2）a＝－.

【解析】

試題分析：解：(1)由題得f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，

且f′(x)＝＋＝.∵a>0，∴f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上是單調(diào)遞增函數(shù).

(2)由(1)可知：f′(x)＝，

①若a≥－1，則x＋a≥0，即f′(x)≥0在[1，e]上恒成立，此時(shí)f(x)在[1，e]上為增函數(shù)，∴f(x)_min＝f(1)＝－a＝，∴a＝－ (舍去).  

②若a≤－e，則x＋a≤0，即f′(x)≤0在[1，e]上恒成立，此時(shí)f(x)在[1，e]上為減函數(shù)，∴f(x)_min＝f(e)＝1－＝，∴a＝－ (舍去).

③若－e<a<－1，令f′(x)＝0，得x＝－a.

當(dāng)1<x<－a時(shí)，f′(x)<0，∴f(x)在(1，－a)上為減函數(shù)；

當(dāng)－a<x<e時(shí)，f′(x)>0，∴f(x)在(－a，e)上為增函數(shù)，

∴f(x)_min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝?a＝－.

綜上可知：a＝－.

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用

點(diǎn)評：解決的關(guān)鍵是根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判定函數(shù)單調(diào)性，以及函數(shù)的極值，進(jìn)而確定出函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題。