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在曲線y=1-x2(x≥0,y≥0)上找一點(x0,y0),過此點作一切線與x軸、y軸圍成一個三角形.
(1)求三角形面積S的最小值及相應的x0;
(2)當三角形面積達到最小值時,求此三角形的外接圓方程.
分析:(1)求出函數y=1-x2在(x0,y0)處的導數值,即切線的斜率,利用點斜式寫出直線的方程,對于直線的方程分別令y=0,x=0得到直線與坐標軸的交點坐標,利用兩點距離公式求出三角形的兩條直角邊,利用三角形的面積表示出面積,對面積函數求導數,令導數等于0,判斷出根左右兩邊的導函數符號,求出最大值.
(2)當三角形面積最小時,求出此時的切線方程及切線與x、y軸的交點坐標,從而得出此三角形的外接圓圓心,半徑,從而寫出外接圓方程即可.
解答:解:(1)y'=-2x,則過點(x0,y0)的切線方程為y-(1-x02)=-2x0(x-x0),
與x、y軸圍成的三角形面積為S=f(x0)=
1
4
(
x
3
0
+2x0+
1
x0
)
,
S′=
1
4
(3
x
2
0
+2-
1
x
2
0
)
,令S'=0得x0=
3
3

x∈(0,
3
3
)
時,S'<0,f(x0)單調遞減;  當x∈(
3
3
,1)
時,S'>0,f(x0)單調遞增.
∴S的最小值為
4
3
9
,此時x0=
3
3
(7分)
(2)當三角形面積最小時,切線方程為y=-
2
3
3
x+
4
3
,切線與x、y軸的交點分別為A(
2
3
3
,0)
B(0,
4
3
)

∴此三角形的外接圓圓心為(
3
3
,
2
3
)
,半徑為
7
3
,
∴所求外接圓方程(x-
3
3
)2+(y-
2
3
)2=
7
9
(12分)
點評:解決曲線的切線斜率問題,一般利用函數在切點處的導數值為切線的斜率;解決實際問題中的函數的最值問題,一般利用導數求出函數的極值即函數的最值.
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