Question

設(shè)正數(shù)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且（n∈N₊），試求a₁、a₂、a₃，并猜想a_n，然后用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．

Answer 1

解：當(dāng)n=1時(shí)，，可得a₁=1，
當(dāng)n=2時(shí)，，可得（a_n＞0），
當(dāng)n=3時(shí)，，可得（a_n＞0），
猜想：（n∈N₊）
證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，已證．
（2）假設(shè)n=k（k≥1）時(shí)，成立，則當(dāng)n=k+1時(shí)，，
即，
∴．由（1）（2）可知對(duì)n∈N₊，成立．
分析：根據(jù)求a₁、a₂、a₃，并猜想a_n，然后用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，檢驗(yàn)當(dāng)n=1時(shí)，等式成立，假設(shè)n=k（k≥1）時(shí)，成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立．
點(diǎn)評(píng)：本題考查用數(shù)學(xué)歸納法證明等式，證明n=k+1時(shí)等式成立，是解題的難點(diǎn)和關(guān)鍵．