（2012•江蘇三模）如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為2
3
的等邊三角形，P是以C為圓心，1為半徑的圓上的任意一點(diǎn)，則
AP
•
BP
的取值范圍是
[1，13]
[1，13]
．
分析：根據(jù)△ABC是邊長(zhǎng)為2
3
的等邊三角形，算出
AP
•
BP
=6，分別將
AP
和
BP
分解為以
AC
、
BC
和
CP
為基向量的式子，將數(shù)量積
AP
•
BP
展開，化簡(jiǎn)整理得
AP
•
BP
=7++
CP
（
AC
+
BC
）最后研究
AC
+
BC
的大小與方向，可得
CP
（
AC
+
BC
）的最大、最小值，最終得到
AP
•
BP
的取值范圍．
解答：解：∵|
AC
|=|
BC
|=2
3
，∠ACB=60°
∴
AC
•
BC
=2
3
•2
3
cos60°=6
∵
AP
=
AC
+
CP
，
BP
=
BC
+
CP

∴
AP
•
BP
=（
AC
+
CP
）（
BC
+
CP
）=
AC
•
BC
+
CP
（
AC
+
BC
）+
CP
2
∵|
CP
|=1
∴
AP
•
BP
=6+
CP
（
AC
+
BC
）+1=7+
CP
（
AC
+
BC
）
∵△ABC是邊長(zhǎng)為2
3
的等邊三角形，
∴向量
AC
+
BC
是與AB垂直且方向向上，長(zhǎng)度為6的一個(gè)向量
由此可得，點(diǎn)P在圓C上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)
CP
與
AC
+
BC
共線同向時(shí)，
CP
（
AC
+
BC
）取最大值，且這個(gè)最大值為6
當(dāng)
CP
與
AC
+
BC
共線反向時(shí)，
CP
（
AC
+
BC
）取最小值，且這個(gè)最小值為-6
故
AP
•
BP
的最大值為7+6=13，最小值為7-6=1．即
AP
•
BP
的取值范圍是[1，13]
故答案為：[1，13]
點(diǎn)評(píng)：本題在等邊三角形和單位圓中，求向量數(shù)量積的取值范圍，著重考查了平面向量的加減法則和平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，屬于中檔題．也可以利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，通過(guò)三角函數(shù)的有界性解決．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•江蘇三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，圓C：（x+1）2+y2=16，點(diǎn)F（1，0），E是圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，EF的垂直平分線PQ與CE交于點(diǎn)B，與EF交于點(diǎn)D．
（1）求點(diǎn)B的軌跡方程；
（2）當(dāng)D位于y軸的正半軸上時(shí)，求直線PQ的方程；
（3）若G是圓上的另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足FG⊥FE．記線段EG的中點(diǎn)為M，試判斷線段OM的長(zhǎng)度是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•江蘇三模）數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，存在常數(shù)A，B，C，使得an+Sn=An2+Bn+C對(duì)任意正整數(shù)n都成立．
（1）若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，求證：3A-B+C=0；
（2）若A=-
1
2
，B=-
3
2
，C=1，設(shè)bn=an+n，數(shù)列{nbn}的前n項(xiàng)和為Tn，求Tn；
（3）若C=0，{an}是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，設(shè)P=
2012
i=1
1+
1
a
2
i
+
1
a
2
i+1
，求不超過(guò)P的最大整數(shù)的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•江蘇三模）在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組
y≥0
x-2y≥0
x+y-3≤0
表示的區(qū)域?yàn)镸，t≤x≤t+1表示的區(qū)域?yàn)镹，若1＜t＜2，則M與N公共部分面積的最大值為
5
6
5
6
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•江蘇三模）假定某人每次射擊命中目標(biāo)的概率均為
12
，現(xiàn)在連續(xù)射擊3次．
（1）求此人至少命中目標(biāo)2次的概率；
（2）若此人前3次射擊都沒(méi)有命中目標(biāo)，再補(bǔ)射一次后結(jié)束射擊；否則．射擊結(jié)束．記此人射擊結(jié)束時(shí)命中目標(biāo)的次數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•江蘇三模）已知數(shù)列{an}滿足a1=2，且對(duì)任意n∈N*，恒有nan+1=2（n+1）an．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)區(qū)間[
an
3n
，
an+1
3(n+1)
]中的整數(shù)個(gè)數(shù)為bn，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式．

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