Question

我們把具有以下性質的函數(shù)f（x）稱為“好函數(shù)”：對于在f（x）定義域內的任意三個數(shù)a，b，c，若這三個數(shù)能作為三角形的三邊長，則f（a），f（b），f（c）也能作為三角形的三邊
長．現(xiàn)有如下一些函數(shù)：
①
②
③f（x）=e^x，x∈（0，1）
④f（x）=sinx，x∈（0，π）．
其中是“好函數(shù)”的序號有

1. A.
   ①②
2. B.
   ①②③
3. C.
   ②③④
4. D.
   ①③④

Answer 1

B
分析：根據(jù)“好函數(shù)”的定義，可以證出①②③的函數(shù)都滿足條件，是“好函數(shù)”；而④可以通過舉出反例，得到它不滿足條件，故不是“好函數(shù)”．由此得到本題的答案．
解答：①設a、b、c∈（0，+∞）且a+b＞c
則（+）²=a+b+2＞c，可得+＞，
同理有+＞，+＞，所以是“好函數(shù)”；
②設a、b、c∈（0，）且a+b＞c
則（1-a）+（1-b）＞1＞1-c，同理可得（1-b）+（1-c）＞1-a，（1-c）+（1-a）＞1-b，
所以是“好函數(shù)”；
③設a、b、c∈（0，1）且a+b＞c
（i）若a≤ln2且b≤ln2，則e^a+e^b≥2
∵ln2≥，∴2≥即2≥
由此可得e^a+e^b≥=e^a+b＞e^c
（ii）若a、b中至少有一個大于ln2，不妨設a＞ln2
則e^a+e^b＞e^ln2+e⁰=2+1=3，而e^c＜e¹＜3
∴e^a+e^b＞e^c，
綜上所述，得e^a+e^b＞e^c，同理可得e^b+e^c＞e^a，e^c+e^a＞e^b．
因此f（x）=e^x，x∈（0，1），是“好函數(shù)”；
④設a、b、c∈（0，π），取a=，b=，c=
得sina=sinb=，sinc=1．雖然a+b＞c，但是sina+sinb=sinc，
不滿足“好函數(shù)”的定義，故f（x）=sinx，x∈（0，π），不是“好函數(shù)”．
故選：B
點評：本題給出“好函數(shù)”的定義，要我們找出滿足條件的函數(shù)．著重考查了基本初等函數(shù)的性質、不等式的證明和簡單的演繹推理等知識，屬于中檔題．