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若f（x）為二次函數，-1和3是方程f（x）-x-4=0的兩根，f（0）=1；
（1）求f（x）的解析式；
（2）若在區(qū)間[-
1
2
，
3
2
]上，不等式xf（x）＞2x+m有解，求實數m的取值范圍．
分析：（1）由題意設出f（x）的解析式，代入方程化簡，根據韋達定理和條件列出方程組，求出系數即可；
（2）根據（1）將原不等式化簡和分離出m后，再構造函數g（x）=x3-x2-x，求出對應的導數，求出導數大于零和小于零的解集，求出函數的單調區(qū)間，再求出函數的最值，即求出m的范圍．
解答：解：（1）有題意設f（x）=ax2+bx+c，
則f（x）-x-4=0為：ax2+（b-1）x+c-4=0，
∴
-1+3=-
b-1
a
-1×3=
c-4
a
，
又∵f（0）=1，∴c=1，代入上面方程組解得，a=1，b=-1，
∴f（x）=x2-x+1；
（2）由（1）得，將不等式xf（x）＞2x+m化為：
m＜x3-x2-x，則此不等式在區(qū)間[-
1
2
，
3
2
]上有解，
設g（x）=x3-x2-x，則g′（x）=3x2-2x-1=（3x+1）（x-1），
∴當x=-
1
3
或1時，g′（x）=0，
當x∈[-
1
3
，1]時，g′（x）＜0，當x∈[1，
3
2
]或[-
1
2
，-
1
3
]時，g′（x）＞0，
∴g（x）在[-
1
3
，1]上單調遞減，在[1，
3
2
]、[-
1
2
，-
1
3
]上單調遞增，
∵g（-
1
2
）=
1
8
，g（
3
2
）=-
3
8
，g（-
1
3
）=
5
27
，g（1）=-1，
∴g（x）最小值是-1，最大值是
5
27
，
故m＜
5
27
時不等式xf（x）＞2x+m在區(qū)間[-
1
2
，
3
2
]上有解．
點評：本題考查了待定系數法求函數的解析式，韋達定理應用，以及函數單調性、最值與導數的應用，考查了轉化思想和構造函數法．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知f（x）為二次函數且二次項系數大于
1
2
，不等式f（x）＜2x的解集為（-1，2），且方程f（x）+
9
4
=0有兩個相等的實根，若α，β是方程f（x）=0的兩個根（α＞β），f'（x）是f（x）的導數，設a1=3，an+1=an-
f(an)
f′(an)
(n∈N*)．
（I）求函數f（x）的解析式；
（II）記bn=lg
an-β
an-α
(n∈N*)，求數列{bn}的前n項和．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知y=f（x）為二次函數，若y=f（x）在x=2處取得最小值-4，且y=f（x）的圖象經過原點，
（1）求f（x）的表達式；
（2）求函數y=f(log
1
2
x)在區(qū)間[
1
8
，2]上的最大值和最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）為二次函數，不等式f（x）+2＜0的解集為(-1，
1
3
)，且對任意的a，β∈R，恒有f（sinα）≤0，f（2+cosβ）≥0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若數列{an}滿足a1=1，3an+1=1-
1
f(an+1)-f(an)-
3
2
(n∈N*)，求數列{an}的通項公式；
（3）設bn=
1
an
，在（2）的條件下，若數列{bn}的前n項和為Sn，求數列{Sn•cos（bnπ）}的前n項和Tn．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設f（x）為二次函數，且f（1）=1，f（x+1）-f（x）=1-4x．
（1）求f（x）的解析式；
（2）設g（x）=f（x）-x-a，若函數g（x）在實數R上沒有零點，求a的取值范圍．

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