Question

已知z為虛數，且|z|=

5

，z²+2

.

z

為實數，若w=z+ai（i為虛數單位，a∈R）且z虛部為正數，0≤a≤1，求|w|的取值范圍．

Answer 1

分析：設z=x+yi（x、y∈R，y≠0），由條件|z|=

5

，z²+2

.

z

為實數求出復數z，在代入w=z+ai中，表示出|w|，即可求范圍．

解答：解：設z=x+yi（x、y∈R，y≠0）
由z2+2

.

z

=(x2+y2+2x)+(2xy-2y)i
∵z2+2

.

z

∈R，∴2xy-2y=0，
∵y≠0，∴x=1
又|z|=

5

，即x²+y²=5，∴y=±2，∴z=1±2i．
∵z虛部為正數，∴y=2，∴z=1+2i，
∴w=1+2i+ai
∴|w|=

1+(a+2)2

，
a∈[0，1]
∴|w|∈[

5

，

10

]

點評：本題考查復數的概念、運算及復數的模等知識，設z=x+yi（x、y∈R）是復數問題中最常用的思路．