【題目】設函數(shù).
(1)若函數(shù)有兩個極值點,求實數(shù)的取值范圍;
(2)設,若當時,函數(shù)的兩個極值點滿足,求證:.
【答案】(1)(2)證明見解析
【解析】
(1)求函數(shù)求導,對參數(shù)進行分類討論,根據函數(shù)單調性,即可求得結果;
(2)根據題意,先求得的范圍,再利用進行適度放縮,即可由對勾函數(shù)單調性,容易證明.
(1)由已知,可知函數(shù)的定義域為,
在上有兩個零點,
設,
,
當時,,為增函數(shù),不存在兩個零點;
當時,,得,
時,,為增函數(shù),
時,,為減函數(shù).
且此時當趨近于時,趨近于負無窮;當趨近于正無窮時,趨近于負無窮.
故要滿足題意,只需:,
,
實數(shù)的取值范圍是.
(2)證明:,
,
由的兩根為,故可得,,,
又,
,
解得,
,
設,
則,
當時,,為增函數(shù),
當時,,為減函數(shù),
,
,
,
令,則,
在時單調遞減,
,
成立.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】動點在拋物線上,過點作垂直于軸,垂足為,設.
(Ⅰ)求點的軌跡的方程;
(Ⅱ)設點,過點的直線交軌跡于兩點,直線的斜率分別為,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】棋盤上標有第、、、、站,棋子開始位于第站,棋手拋擲均勻硬幣走跳棋游戲,若擲出正面,棋子向前跳出一站;若擲出反面,棋子向前跳出兩站,直到調到第站或第站時,游戲結束.設棋子位于第站的概率為.
(1)當游戲開始時,若拋擲均勻硬幣次后,求棋手所走步數(shù)之和的分布列與數(shù)學期望;
(2)證明:;
(3)求、的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】我國古代有輝煌的數(shù)學研究成果,其中《周髀算經》,《九章算術》,《海島算經》,《孫子算經》,《緝古算經》均有著十分豐富的內容,是了解我國古代數(shù)學的重要文獻,某中學計劃將這本專著作為高中階段“數(shù)學文化”樣本課程選修內容,要求每學年至少選一科,三學年必須將門選完,則小南同學的不同選修方式有______種.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和為,.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)記,若集合中恰好有3個元素,求實數(shù)的取值范圍;
(3)若,且,求證:數(shù)列為等差數(shù)列.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】對于數(shù)列{an},若從第二項起的每一項均大于該項之前的所有項的和,則稱{an}為P數(shù)列.
(1)若{an}的前n項和Sn=3n+2,試判斷{an}是否是P數(shù)列,并說明理由;
(2)設數(shù)列a1,a2,a3,…,a10是首項為﹣1、公差為d的等差數(shù)列,若該數(shù)列是P數(shù)列,求d的取值范圍;
(3)設無窮數(shù)列{an}是首項為a、公比為q的等比數(shù)列,有窮數(shù)列{bn},{cn}是從{an}中取出部分項按原來的順序所組成的不同數(shù)列,其所有項和分別為T1,T2,求{an}是P數(shù)列時a與q所滿足的條件,并證明命題“若a>0且T1=T2,則{an}不是P數(shù)列”.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】2018年全國數(shù)學奧賽試行改革:在高二一年中舉行5次全區(qū)競賽,學生如果其中2次成績達全區(qū)前20名即可進入省隊培訓,不用參加其余的競賽,而每個學生最多也只能參加5次競賽.規(guī)定:若前4次競賽成績都沒有達全區(qū)前20名,則第5次不能參加競賽.假設某學生每次成績達全區(qū)前20名的概率都是,每次競賽成績達全區(qū)前20名與否互相獨立.
(1)求該學生進入省隊的概率.
(2)如果該學生進入省隊或參加完5次競賽就結束,記該學生參加競賽的次數(shù)為,求的分布列及的數(shù)學期望.
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