在一次代號(hào)為“東方雄師”的軍事演習(xí)中,紅軍派出甲、乙兩架轟炸機(jī)對藍(lán)軍的同一地面目標(biāo)進(jìn)行轟炸,已知甲轟炸機(jī)投彈1次命中目標(biāo)的概率為
2
3
,乙轟炸機(jī)投彈1次命中目標(biāo)的概率為
1
2
,兩機(jī)投彈互不影響,每機(jī)各投彈2次,2次投彈之間互不影響.
(1)若至少2次投彈命中才能摧毀這個(gè)地面目標(biāo),求目標(biāo)被摧毀的概率;
(2)記目標(biāo)被命中的次數(shù)為隨機(jī)變量ξ,求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.
分析:(1)由題意設(shè)Ak表示甲轟炸機(jī)命中目標(biāo)k次,k=0,1,2,Bl表示乙轟炸機(jī)命中目標(biāo)l次,l=0,1,2,則Ak,Bl相互獨(dú)立.由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率公式即可求得;
(2)由于記目標(biāo)被命中的次數(shù)為隨機(jī)變量ξ,利用題意可知ξ的所有可能值為0,1,2,3,4,利用隨機(jī)變量的定義及其分布列的定義即可求解其期望.
解答:解:設(shè)Ak表示甲轟炸機(jī)命中目標(biāo)k次,k=0,1,2,Bl表示乙轟炸機(jī)命中目標(biāo)l次,l=0,1,2,則Ak,Bl相互獨(dú)立.由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率公式有
P(Ak)=C2k
2
3
k
1
3
2-k,P(Bl)=C2t
1
2
l
1
2
2-l
據(jù)此算得P(A0)=
1
9
,P(A1)=
4
9
,P(A2)=
4
9
.P(B0)=
1
4
,P(B1)=
1
2
,P(B2)=
1
4

(1)所求概率為1-P(A0B0+A0B1+A1B0)=1-(
1
9
×
1
4
+
1
9
×
1
2
+
4
9
×
1
4
)=1-
7
36
=
29
36

(2)ξ的所有可能值為0,1,2,3,4,則
P(ξ=0)=P(A0B0)=
1
9
×
1
4
=
1
36
,
P(ξ=1)=P(A0B1)+P(A1B0)=
1
9
×
1
2
+
4
9
×
1
4
=
1
6
,
P(ξ=2)=P(A0B2)+P(A1B1)+P(A2B0)=
1
9
×
1
4
+
4
9
×
1
2
+
4
9
×
1
4
=
13
36
,
P(ξ=3)=P(A1B2)+P(A2B1)=
4
9
×
1
4
+
4
9
×
1
2
=
1
3
,
P(ξ=4)=P(A2B2)=
4
9
×
1
4
=
1
9

綜上知,ξ的分布列為
ξ 0 1 2 3 4
P
1
36
1
6
13
36
1
3
1
9
從而,ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=0×
1
36
+1×
1
6
+2×
13
36
+3×
1
3
+4×
1
9
=
7
3
點(diǎn)評:此題考查了學(xué)生對于題意的理解能力,獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式,離散型隨機(jī)變量的定義及離散型隨機(jī)變量的分布列及期望,還考查了學(xué)生的計(jì)算能力.
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2
3
,乙的命中率為P2=
1
2
,兩人的所有射擊都是相互獨(dú)立的.在射擊比武活動(dòng)中每人射擊兩發(fā)子彈則完成一次檢測,在一次檢測中,若兩人命中次數(shù)相等且都不少于一發(fā),則稱該射擊小組為“先進(jìn)和諧組”.若計(jì)劃在2012年每月進(jìn)行1次檢測,設(shè)這12次檢測中該小組獲得“先進(jìn)和諧組”的次數(shù)為X,則E(X)的值為( 。

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6
6
倍.

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(1)若至少2次投彈命中才能摧毀這個(gè)地面目標(biāo),求目標(biāo)被摧毀的概率;
(2)記目標(biāo)被命中的次數(shù)為隨機(jī)變量ξ,求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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