Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=alnx+b（a，b∈R），曲線f（x）在x=1處的切線方程為x﹣y﹣1=0．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）證明： ；
（Ⅲ）已知滿足xlnx=1的常數(shù)為k．令函數(shù)g（x）=mex+f（x）（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…），若x=x0是g（x）的極值點，且g（x）≤0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f（x）的導函數(shù) ，

由曲線f（x）在x=1處的切線方程為x﹣y﹣1=0，知f'（1）=1，f（1）=0，

所以a=1，b=0．

（Ⅱ）令 = ，則 = ，

當0＜x＜1時，u'（x）＜0，u（x）單調(diào)遞減；當x＞1時，u'（x）＞0，u（x）單調(diào)遞增，

所以，當x=1時，u（x）取得極小值，也即最小值，該最小值為u（1）=0，

所以u（x）≥0，即不等式 成立．

（Ⅲ）函數(shù)g（x）=mex+lnx（x＞0），則 ，

當m≥0時，g'（x）＞0，函數(shù)g（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，g（x）無極值，不符合題意；

當m＜0時，由 ，得 ，

結(jié)合y=ex， 在（0，+∞）上的圖象可知，關于x的方程 一定有解，其解為x0（x0＞0），且當0＜x＜x0時，g'（x）＞0，g（x）在（0，x0）內(nèi)單調(diào)遞增；

當x＞x0時，g'（x）＜0，g（x）在（x0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減．

則x=x0是函數(shù)g（x）的唯一極值點，也是它的唯一最大值點，x=x0也是g'（x）=0在（0，+∞）上的唯一零點，即 ，則 ．

所以g（x）max=g（x0）= = ．

由于g（x）≤0恒成立，則g（x）max≤0，即 ，（*）

考察函數(shù) ，則 ，

所以h（x）為（0，+∞）內(nèi)的增函數(shù)，且 ， ，

又常數(shù)k滿足klnk=1，即 ，

所以，k是方程 的唯一根，

于是不等式（*）的解為x0≤k，

又函數(shù) （x＞0）為增函數(shù)，故 ，

所以m的取值范圍是

【解析】（Ⅰ）求出導函數(shù)，根據(jù)切線方程和導函數(shù)的關系求出參數(shù)的值；

（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù) = ，通過導函數(shù)求出函數(shù)的最小值，得出u（x）≥0，得出結(jié)論成立．（Ⅲ）求出導函數(shù) ，對參數(shù)m分類討論，得出函數(shù)的極值情況，得出函數(shù)的最大值，把恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題求解；

，通過構(gòu)造函數(shù) ，結(jié)合題意得出x0≤k，構(gòu)造函數(shù) ，得出m的取值范圍．

【考點精析】掌握函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)是解答本題的根本，需要知道求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．