Question

已知橢圓＝1(a＞b＞c＞0，a2＝b2＋c2)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，若以F2為圓心，b－c為半徑作圓F2，過橢圓上一點P作此圓的切線，切點為T，且PT的最小值為(a－c)，則橢圓的離心率e的取值范圍是________．

 

Answer 1

≤e＜

【解析】因為PT＝(b＞c)，而PF2的最小值為a－c，所以PT的最小值為.依題意有，≥(a－c)，

所以(a－c)2≥4(b－c)2，所以a－c≥2(b－c)，所以a＋c≥2b，所以(a＋c)2≥4(a2－c2)，

所以5c2＋2ac－3a2≥0，所以5e2＋2e－3≥0　①.

又b＞0，所以b2＞c2，所以a2－c2＞c2，

所以2e2＜1②，聯(lián)立①②，得≤e＜.