Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的中，求證：B₁D被平面A₁BC₁分成1：2的兩段．

Answer 1

證明：如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
連接B₁D₁，A₁C₁，BD，AC．
設B₁D₁∩A₁C₁=M，BD∩AC=N．
∴M，N分別是B₁D₁，AC的中點．
連接BM，D₁N．
∵BB₁∥DD₁，且BB₁=DD₁，
∴四邊形BDD₁B₁是平行四邊形．
在平面BDD₁B₁中，設B₁D∩BM=O，B₁D∩D₁N=O₁，
在平行四邊形BDD₁B₁中，
∵D₁M∥NB，且D₁M=NB，
∴四邊形BND₁M是平行四邊形．
∴BM∥ND₁，即OM∥O₁D₁，
∴O是BO₁的中點，即O₁O=OB₁．
同理，OO₁=O₁D．
∴O₁O=OB₁=O₁D．
綜上，OB₁：OD₁=1：2，
即B₁D被平面A₁BC₁分成1：2的兩段
分析：解決此題應該先找出直線B₁D與平面A₁BC₁的交點，把直線B₁D放到平面BDD₁B₁中，則交點應該在平面BDD₁B₁與平面A₁BC₁的交線（即圖中BM）上，然后在平行四邊形BDD₁B₁中解決比例關系．
點評：平面D₁AC∥平面A₁BC₁，B₁D與這兩個面都垂直，且垂足就是B₁D的兩個三等分點．