已知集合A={(x,y)|x=n,y=na+b,n∈Z},B={(x,y)|x=m,y=3m2+12,m∈Z}.若存在實(shí)數(shù)a,b使得A∩B≠∅成立,稱點(diǎn)(a,b)為“£”點(diǎn),則“£”點(diǎn)在平面區(qū)域C={(x,y)|x2+y2≤108}內(nèi)的個數(shù)是( )
A.0
B.1
C.2
D.無數(shù)個
【答案】
分析:集合A,B都是不連續(xù)的點(diǎn)集.“存在實(shí)數(shù)a,b使得A∩B≠∅成立”的含義就是“存在實(shí)數(shù)a,b使得na+b=3n
2+12(n∈Z)有解”,(A∩B時x=n=m),再抓住主參數(shù)a,b,則此問題的幾何意義是:動點(diǎn)(a,b)在直線l:na+b=3n
2+12上,且與圓x
2+y
2=108相交或在內(nèi)部.
解答:解:由A∩B≠∅得,na+b=3n
2+12,(A∩B時x=n=m),
對于任意的整數(shù)n,動點(diǎn)(a,b)的集合是直線l:na+b=3n
2+12,
由于圓x
2+y
2=108的圓心到直線l的距離d=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025122730313656875/SYS201310251227303136568009_DA/0.png)
=3(
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+
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)≥6
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025122730313656875/SYS201310251227303136568009_DA/3.png)
.
∵n為整數(shù),∴上式不能取等號,所以直線和圓相離.
所以兩者無有公共點(diǎn).
故選A.
點(diǎn)評:本題將集合轉(zhuǎn)化為曲線,用集合的方法研究,利用了數(shù)形結(jié)合的思想.