Question

設函數．
（Ⅰ）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（3，f（3））處的切線方程；
（Ⅱ）求函數f（x）的單調區(qū)間和極值；
（Ⅲ）若對于任意的x∈（3a，a），都有f（x）＜a+1，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（I）∵當a=1時，，…（1分）
f'（x）=-x²+4x-3…（2分）
當x=3時，f（3）=1，f'（3）=0 …（3分）
∴曲線y=f（x）在點（3，f（3））處的切線方程為y-1=0…（4分）
（II）f'（x）=-x²+4ax-3a²=-（x-a）（x-3a）…（5分）a=0時，f'（x）≤0，（-∞，∞）是函數的單調減區(qū)間；無極值；…（6分）
a＞0時，在區(qū)間（-∞，a），（3a，∞）上，f'（x）＜0； 在區(qū)間（a，3a）上，f'（x）＞0，
因此（-∞，a），（3a，∞）是函數的單調減區(qū)間，（a，3a）是函數的單調增區(qū)間，
函數的極大值是f（3a）=a；函數的極小值是；…（8分）
a＜0時，在區(qū)間（-∞，3a），（a，∞）上，f'（x）＜0； 在區(qū)間（3a，a）上，f'（x）＞0，
因此（-∞，3a），（a，∞）是函數的單調減區(qū)間，（3a，a）是函數的單調增區(qū)間
函數的極大值是，函數的極小值是f（3a）=a…（10分）
（ III） 根據（II）問的結論，x∈（3a，a）時，…（11分）
因此，不等式f（x）＜a+1在區(qū)間（3a，a）上恒成立必須且只需：，
解之，得 …（13分）
分析：（Ⅰ）曲線y=f（x）在點（3，f（3））處的切線斜率為在該點處的導數，所以只要求導，再求x=3時的導數，再用點斜式求出直線方程．
（Ⅱ）先求出f（x）的導數，根據f′（x）＞0求得的區(qū)間是單調增區(qū)間，f′（x）＜0求得的區(qū)間是單調減區(qū)間，函數f（x）的極大值和極小值是導數等于0時的x的值，所以再令導數等于0，解出x的值，為極值點，再列表判斷極值點兩側導數的正負，若左正右負，為極大值，若左負右正，為極小值．
（ III） 根據（II）問的結論，x∈（3a，a）時，，從而根據不等式f（x）＜a+1在區(qū)間（3a，a）上恒成立列出關于a的不等關系，即可求出a的取值范圍．
點評：本小題主要考查導數的幾何意義、利用導數研究曲線上某點切線方程、利用導數研究函數的單調性等基礎知識，考查運算求解能力．屬于中檔題．