分析 (1)設(shè)P(x,y),則→PA=(−3−x,−y),→PB=(3−x,−y),動點(diǎn)P滿足→PA•→PB=0⇒(-3-x)(3-x)+(-y)(-y)=0化簡即可.
(2)由(1)得曲線C的右焦點(diǎn)為(3√1−λ2,0),斜率為1的直線lAB與的方程為:y=x-3√1−λ2
設(shè)E(x1,y1),F(xiàn)(x2,y2),H(x0,y0),
假設(shè)在曲線C上存在點(diǎn)H使得△EFH的重心為坐標(biāo)原點(diǎn),則x0=-(x1+x2),y0=-(y1+y2),
聯(lián)立{y=x−3√1−λ2λ2x2+y2=9λ2得((λ2+1)x2−6√1−λ2x+9−18λ2=0;
H(6√1−λ21+λ2,−6λ2√1−λ21+λ2)在曲線C上,λ236(1−λ2)(1+λ2)2+36λ4(1−λ2)(1+λ2)2=9λ2,即可求出λ.
解答 解:(1)設(shè)P(x,y),則→PA=(−3−x,−y),→PB=(3−x,−y),
動點(diǎn)P滿足→PA•→PB=0⇒(-3-x)(3-x)+(-y)(-y)=0⇒y2+x2=9
設(shè)M(s,t),∵PD⊥x軸,且→DM=λ→DP(0<λ<1),
∴x=s,y=tλ,∴s2+t2λ2=9,
∴點(diǎn)M的軌跡方程C為:x29+y29λ2=1(0<λ<1)
(2)由(1)得曲線C的右焦點(diǎn)為(3√1−λ2,0)
斜率為1的直線lAB與的方程為:y=x-3√1−λ2
設(shè)E(x1,y1),F(xiàn)(x2,y2),H(x0,y0),
假設(shè)在曲線C上存在點(diǎn)H使得△EFH的重心為坐標(biāo)原點(diǎn),則x0=-(x1+x2),y0=-(y1+y2),
聯(lián)立{y=x−3√1−λ2λ2x2+y2=9λ2得((λ2+1)x2−6√1−λ2x+9−18λ2=0;
x1+x2=6√1−λ2λ2+1,y1+y2=−6λ2√1−λ21+λ2,
,H(6√1−λ21+λ2,−6λ2√1−λ21+λ2)在曲線C上,
∴λ236(1−λ2)(1+λ2)2+36λ4(1−λ2)(1+λ2)2=9λ2,
⇒λ2=35,∵0<λ<1.
∴在曲線C上存在點(diǎn)H使得△EFH的重心為坐標(biāo)原點(diǎn),此時(shí)λ=√155.
點(diǎn)評 本題考查了軌跡方程的求解,及圓錐曲線中的存在問題,屬于中檔題.
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