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15.已知A(-3,0),B(3,0),動點(diǎn)P滿足PAPB=0,如圖所示作PD⊥x軸,且DMDP(0<λ<1)
(1)求點(diǎn)M的軌跡方程C;
(2)過方程C對應(yīng)曲線的右焦點(diǎn)作斜率為1的直線lAB與曲線C交于E,F(xiàn)兩點(diǎn),曲線C上是否存在點(diǎn)H使得△EFH的重心為坐標(biāo)原點(diǎn)?若存在,求出λ;若不存在,請說明理由.

分析 (1)設(shè)P(x,y),則PA=3xyPB=3xy,動點(diǎn)P滿足PAPB=0⇒(-3-x)(3-x)+(-y)(-y)=0化簡即可.
(2)由(1)得曲線C的右焦點(diǎn)為(31λ2,0),斜率為1的直線lAB與的方程為:y=x-31λ2
設(shè)E(x1,y1),F(xiàn)(x2,y2),H(x0,y0),
假設(shè)在曲線C上存在點(diǎn)H使得△EFH的重心為坐標(biāo)原點(diǎn),則x0=-(x1+x2),y0=-(y1+y2),
聯(lián)立{y=x31λ2λ2x2+y2=9λ2得(λ2+1x261λ2x+918λ2=0;
H(61λ21+λ26λ21λ21+λ2)在曲線C上,λ2361λ21+λ22+36λ41λ21+λ22=9λ2,即可求出λ.

解答 解:(1)設(shè)P(x,y),則PA=3xyPB=3xy,
動點(diǎn)P滿足PAPB=0⇒(-3-x)(3-x)+(-y)(-y)=0⇒y2+x2=9
設(shè)M(s,t),∵PD⊥x軸,且DMDP(0<λ<1),
∴x=s,y=tλ,∴s2+t2λ2=9,
∴點(diǎn)M的軌跡方程C為:x29+y29λ2=1(0<λ<1)
(2)由(1)得曲線C的右焦點(diǎn)為(31λ2,0)
斜率為1的直線lAB與的方程為:y=x-31λ2
設(shè)E(x1,y1),F(xiàn)(x2,y2),H(x0,y0),
假設(shè)在曲線C上存在點(diǎn)H使得△EFH的重心為坐標(biāo)原點(diǎn),則x0=-(x1+x2),y0=-(y1+y2),
聯(lián)立{y=x31λ2λ2x2+y2=9λ2得(λ2+1x261λ2x+918λ2=0
x1+x2=61λ2λ2+1,y1+y2=6λ21λ21+λ2
,H(61λ21+λ26λ21λ21+λ2)在曲線C上,
λ2361λ21+λ22+36λ41λ21+λ22=9λ2,
⇒λ2=35,∵0<λ<1.
∴在曲線C上存在點(diǎn)H使得△EFH的重心為坐標(biāo)原點(diǎn),此時(shí)λ=155

點(diǎn)評 本題考查了軌跡方程的求解,及圓錐曲線中的存在問題,屬于中檔題.

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