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3.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且,acosC=(2b-c)cosA
(1)求cosA的值;
(2)若a=6,b+c=8,求三角形ABC的面積.

分析 (1)利用正弦定理、和差公式及其誘導(dǎo)公式即可得出.
(2)利用余弦定理與三角形面積計(jì)算公式即可得出.

解答 解:(1)∵acosC=(2b-c)cosA,
由正弦定理可得sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosA…(2分)
由兩角和的正弦公式得sin(A+C)=2sinBcosA…(4分)
由三角形的內(nèi)角和可得sinB=2sinBcosA…(5分)
因?yàn)閟inB≠0,所以cosA=12…(6分)
(2)由余弦定理得:36=b2+c22bc×12=b+c23bc=643bc,
bc=283,…(9分)
由(1)知sinA=32…(10分)
所以SABC=12×283×32=733.…1(2分)

點(diǎn)評 本題考查了正弦定理余弦定理、和差公式及其誘導(dǎo)公式、三角形面積計(jì)算公式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

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