Question

設(shè)F₁、F₂為雙曲線的左、右焦點，P為雙曲線右支上任一點，若的最小值恰是實軸長的4倍，則該雙曲線離心率的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)|PF₂|=t，則由雙曲線的定義可得|PF₁|=2a+t，推出的關(guān)系式，利用基本不等式求出最小值，然后推出離心率的范圍．
解答：解：由雙曲線的定義可得|PF₁|-|PF₂|=2a．
設(shè)|PF₂|=t，則|PF₁|=2a+t，
所以==+t+4a≥2+4a=8a，
當(dāng)且僅當(dāng) t=2a時，等號成立．
因為P為雙曲線右支上任一點，
所以t≥c-a，
所以2a≥c-a，
所以e=≤3．
又因為 e＞1，
所以e的范圍為 （1，3]．
故答案為：（1，3]．
點評：本題考查雙曲線的定義和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，并且考查基本不等式的應(yīng)用，此題能夠正確利用 t≥c-a 是解題的關(guān)鍵．