Question

【題目】已知的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)是，，的周長(zhǎng)為，是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)滿足.

（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）若互相平行的兩條直線，分別過定點(diǎn)和，且直線與曲線交于兩點(diǎn)，直線與曲線交于兩點(diǎn)，若四邊形的面積為，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）或

【解析】

（1）由，所以，可得點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓（不含左右頂點(diǎn)）.再由得得出點(diǎn)A的坐標(biāo)與點(diǎn)M的坐標(biāo)的關(guān)系，可求得點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）分直線的斜率不存在時(shí)和直線的斜率存在時(shí)兩種情況分別求解，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線的方程為，直線的方程為與曲線E的方程聯(lián)立求得邊，，，再由平行線間的距離可得平行四邊形的面積，可得解.

（1）由已知，得，所以，點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓（不含左右頂點(diǎn)）.

因?yàn)椋?/span>，，所以，，，

所以，點(diǎn)的軌跡方程為.

設(shè)，.由得，，又.

故，點(diǎn)的軌跡的方程為，即.

（2）由題意可知，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，易求得，，

，.這時(shí)，四邊形的面積為，不符合要求.

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線的方程為，

則直線的方程為

由消去得，

設(shè)，，則，.

故，，

又，兩條平行直線，間的距離.

由橢圓的對(duì)稱性知：四邊形為平行四邊形，其面積，

解得，或.

故，直線的方程為或.