Question

一企業(yè)的某產品每件利潤100元，在未做電視廣告時，日銷售量為b件．當對產品做電視廣告后，記每日播n次時的日銷售量為a_n（n∈N^*）件，調查發(fā)現(xiàn)：每日播一次則日銷售量a_l件b件的基礎上增加

b

2

件，每日播二次則日銷售量a₂件在每日播一次時日銷售量a_l件的基礎上增加

b

4

件…，每日播n次，該產品的該產品的日銷售a_n件在每日播n-1次時的日銷售量件a_n-1的基礎上增加

b

2n

件．合同約定：每播一次企業(yè)需支付廣告費2b元．
（Ⅰ）試求出a_n與n的關系式；
（Ⅱ）該企業(yè)為了獲得扣除廣告費后的日利潤最大，求每日電視廣告需播多少次．

Answer 1

（Ⅰ）設電視廣告播放量為每天i次時，該產品的銷售量為為a_i（0≤i≤n，）．
由題意，ai=

b i=0 ai-1+ b 2i 1≤i≤n，i∈N*

，
∴an=b+(

b

2

+

b

22

+…+

b

2n

)=b(2-

1

2n

)，
所以，該產品每天銷售量a_n（件）與電視廣告播放量n（次/天）的函數(shù)關系式為an=b(2-

1

2n

)，n∈N*．
（Ⅱ）設該企業(yè)為了獲得扣除廣告費后的日利潤最大，每日電視廣告需播n次．
則有cn=100b(2-

1

2n

)-2bn=400b(2-0.02n-

1

2n

)
∵cn-cn-1= 400b(0.02-

1

2n

)≥0，∴2ⁿ≤50，∴n≤5
∵cn+1-cn= 400b(0.02-

1

2n+1

)≤0，∴2ⁿ≥25，∴n≥5
∴n=5
∴要使設該企業(yè)為了獲得扣除廣告費后的日利潤最大，每日電視廣告需播5次