Question

設(shè)a_n=（1-

1

4

）（1-

1

9

）（1-

1

16

）…（1-

1

n2

）（n∈N，且n≥2）
（1）求a₂，a₃，a₄，猜想a_n的化簡(jiǎn)式；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）的結(jié)果；
（3）設(shè)正數(shù)數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足b₁=1，b_n²=2（a_n-

1

2

），求證：n＞1時(shí)，b₁+b₂+b₃+…+b_n＞

n

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法

專(zhuān)題：綜合題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）代入計(jì)算，即可求a₂，a₃，a₄，猜想a_n的化簡(jiǎn)式；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明，關(guān)鍵是證明n=k+1時(shí)，結(jié)論成立；
（3）b_n²=2（a_n-

1

2

）=

1

n

，可得b_n=

1

n

，利用放縮法，即可證明結(jié)論．

解答： （1）解：a₂=

3

4

，a₃=（1-

1

4

）（1-

1

9

）=

2

3

=

4

6

，a₄=（1-

1

4

）（1-

1

9

）（1-

1

16

）=

5

8

，
猜想a_n=

n+1

2n

（n∈N，且n≥2）；
（2）證明：①n=2時(shí)，結(jié)論成立；
②假設(shè)n=k時(shí)成立，即a_k=

k+1

2k

，
則n=k+1時(shí)，a_k+1=

k+1

2k

•[1-

1

(k+1)2

]=

k+2

2(k+1)

，成立，
∴a_n=

n+1

2n

（n∈N，且n≥2）；
（3）證明：b_n²=2（a_n-

1

2

）=

1

n

，∴b_n=

1

n

，
∴n＞1時(shí)，b₁+b₂+b₃+…+b_n＞1+

1

2

+…+

1

n

＞

n

n

=

n

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)學(xué)歸納法，考查不等式的證明，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，考查數(shù)列的通項(xiàng)，屬于中檔題．