Question

【題目】如圖，設(shè)橢圓C： +y2=1（a＞1）

（1）求直線y=kx+1被橢圓截得到的弦長(zhǎng)（用a，k表示）
（2）若任意以點(diǎn)A（0，1）為圓心的圓與橢圓至多有三個(gè)公共點(diǎn)，求橢圓的離心率的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

由題意可得： ，可得：（1+a2k2）x2+2ka2x=0，

得x1=0或x2= ，

直線y=kx+1被橢圓截得到的弦長(zhǎng)為： =

（2）

假設(shè)圓A與橢圓由4個(gè)公共點(diǎn)，由對(duì)稱性可設(shè)y軸左側(cè)的橢圓上有兩個(gè)不同的點(diǎn)P，Q，滿足|AP|=|AQ|，

記直線AP，AQ的斜率分別為：k1，k2；且k1，k2＞0，k1≠k2，由（1）可知|AP|= ，|AQ|= ，

故： = ，所以，（k12﹣k22）[1+k12+k22+a2（2﹣a2）k12k22]=0，由k1≠k2，

k1，k2＞0，可得：1+k12+k22+a2（2﹣a2）k12k22=0，

因此 a2（a2﹣2）①，

因?yàn)棰偈疥P(guān)于k1，k2；的方程有解的充要條件是：1+a2（a2﹣2）＞1，

所以a＞ ．

因此，任意點(diǎn)A（0，1）為圓心的圓與橢圓至多有三個(gè)公共點(diǎn)的充要條件為：1＜a＜2，

e= = 得，所求離心率的取值范圍是：

【解析】（1）聯(lián)立直線y=kx+1與橢圓方程，利用弦長(zhǎng)公式求解即可．（2）寫出圓的方程，假設(shè)圓A與橢圓由4個(gè)公共點(diǎn)，再利用對(duì)稱性有解已知條件可得任意一A（0，1）為圓心的圓與橢圓至多有3個(gè)公共點(diǎn)，a的取值范圍，進(jìn)而可得橢圓的離心率的取值范圍．本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，橢圓與圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．