Question

設數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=a_n²-na_n+1,

(1)當a₁=2時,求a₂,a₃,a₄,并猜想a_n的通項公式;

(2)當a₁≥3時,證明對所有n≥1有a_n≥n+2.

Answer 1

解：(1)由a₁=2得a₂=a₁²-a₁+1=3;?

由a₂=3得a₃=a₂²-2a₂+1=4;?

由a₃=4得a₄=a₃²-3a₃+1=5.?

由此猜想a_n的一個通項公式為a_n=n+1(n≥1).?

(2)當n=1時,a₁≥3=1+2,不等式成立.?

假設當n=k時不等式成立,即a_k≥k+2,?

那么a_k+1=a_k(a_k-k)+1≥(k+2)(k+2-k)+1≥k+3.?

∴n=k+1時,a_k+1≥(k+1)+2.?

∴當n≥1時,a_n≥n+2.

溫馨提示

從已知條件入手,尋求它們的內(nèi)在聯(lián)系,從而找出證明的途徑,充分利用不等式的性質(zhì)進行放縮證明.