解:(Ⅰ)由f(0)=-2,可得c=-2…(1分)
求導(dǎo)函數(shù)可得f′(x)=(-ax
2+2ax-bx+b-c)e
-x,∴f′(0)=(b-c)e
0=b-c
∵切線方程為4x-y-2=0,∴b-c=4,∴b=2…(3分)
∴f(x)=(ax
2+2x-2)e
-x,f′(x)=(-ax-2)(x-2)e
-x,
∵f(x)在[2,+∞)上為單調(diào)增函數(shù),
∴(-ax-2)(x-2)e
-x≥0在[2,+∞)上恒成立
即-ax-2≥0,∴a≤-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/805.png)
,∴a≤-1 …(5分)
(Ⅱ)函數(shù)F(x)=f(x)-m恰好有一個(gè)零點(diǎn),即y=m和y=f(x)恰好有一個(gè)交點(diǎn)
∵f′(x)=(-ax-2)(x-2)e
-x,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/upload/201305/51d61ea63d2b2.png)
①當(dāng)a>0時(shí),f(x)在區(qū)間(-∞,-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/7691.png)
),(2,+∞)單調(diào)遞減,在
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/536605.png)
上單調(diào)遞增,極大值為f(2)=(4a+2)e
-2,極小值為f(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/61765.png)
)=-2
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/536606.png)
,(當(dāng)x趨向于+∞時(shí)圖象在x軸上方,并且無(wú)限接近于x軸)
所以m=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/536607.png)
或m>(4a+2)e
-2,…(8分)
②當(dāng)a<0時(shí):(ⅰ)當(dāng)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/61765.png)
>2,即-1<a<0時(shí),f(x)在區(qū)間(-∞,2),(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/61765.png)
,+∞)單調(diào)遞增,在(2,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/61765.png)
)上單調(diào)遞減,極大值f(2)=(4a+2)e
-2,極小值為f(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/61765.png)
)=-2
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/536606.png)
,(當(dāng)x趨向于+∞時(shí)圖象在x軸下方,并且無(wú)限接近于x軸)
當(dāng)(4a+2)e
-2≥0,即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21312.png)
時(shí),m=(4a+2)e
-2或m<
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/536607.png)
當(dāng)(4a+2)e
-2<0,即-1<a<
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/479.png)
時(shí),(4a+2)e
-2<m<0或m<
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/536607.png)
…(11分)
(ⅱ)當(dāng)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/536608.png)
2時(shí),即a<-1 時(shí),f(x)在區(qū)間(-∞,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/61765.png)
),(2,+∞)單調(diào)遞增,在(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/61765.png)
,2)上單調(diào)遞減,極小值為f(2)=(4a+2)e
-2,極大值為f(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/61765.png)
)=-2
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/536606.png)
,(當(dāng)x趨向于+∞時(shí)圖象在x軸下方,并且無(wú)限接近于x軸)
∴m=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/536607.png)
或m<(4a+2)e
-2,…(13分)
(ⅲ)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/61765.png)
=2時(shí),即a=-1時(shí),f(x)在R上單調(diào)增(當(dāng)x趨向于+∞時(shí)圖象在x軸下方,并且無(wú)限接近于x軸),此時(shí)m<0 …(14分)
分析:(Ⅰ)由f(0)=-2,可得c的值,求導(dǎo)函數(shù),利用切線方程可得b=的值,根據(jù)f(x)在[2,+∞)上為單調(diào)增函數(shù),可得(-ax-2)(x-2)e
-x≥0在[2,+∞)上恒成立,由此可求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)函數(shù)F(x)=f(x)-m恰好有一個(gè)零點(diǎn),即y=m和y=f(x)恰好有一個(gè)交點(diǎn),求導(dǎo)函數(shù),再進(jìn)行分類討論:①當(dāng)a>0時(shí),f(x)在區(qū)間(-∞,-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/7691.png)
),(2,+∞)單調(diào)遞減,在
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/536605.png)
上單調(diào)遞增;②當(dāng)a<0時(shí):(�。┊�(dāng)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/61765.png)
>2,即-1<a<0時(shí),f(x)在區(qū)間(-∞,2),(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/61765.png)
,+∞)單調(diào)遞增,在(2,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/61765.png)
)上單調(diào)遞減;(ⅱ)當(dāng)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/536608.png)
2時(shí),即a<-1 時(shí),f(x)在區(qū)間(-∞,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/61765.png)
),(2,+∞)單調(diào)遞增,在(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/61765.png)
,2)上單調(diào)遞減;(ⅲ)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/61765.png)
=2時(shí),即a=-1時(shí),f(x)在R上單調(diào)增,從而可得結(jié)論.
點(diǎn)評(píng):本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用,考查函數(shù)的單調(diào)性,考查函數(shù)的極值,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想,正確分類是關(guān)鍵.