已知函數(shù)f(x)=(ax2+bx+c)e-x(a≠0)的圖象過(guò)點(diǎn)(0,-2),且在該點(diǎn)的切線方程為4x-y-2=0.
(Ⅰ)若f(x)在[2,+∞)上為單調(diào)增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)若函數(shù)F(x)=f(x)-m恰好有一個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

解:(Ⅰ)由f(0)=-2,可得c=-2…(1分)
求導(dǎo)函數(shù)可得f′(x)=(-ax2+2ax-bx+b-c)e-x,∴f′(0)=(b-c)e0=b-c
∵切線方程為4x-y-2=0,∴b-c=4,∴b=2…(3分)
∴f(x)=(ax2+2x-2)e-x,f′(x)=(-ax-2)(x-2)e-x,
∵f(x)在[2,+∞)上為單調(diào)增函數(shù),
∴(-ax-2)(x-2)e-x≥0在[2,+∞)上恒成立
即-ax-2≥0,∴a≤-,∴a≤-1 …(5分)
(Ⅱ)函數(shù)F(x)=f(x)-m恰好有一個(gè)零點(diǎn),即y=m和y=f(x)恰好有一個(gè)交點(diǎn)
∵f′(x)=(-ax-2)(x-2)e-x,

①當(dāng)a>0時(shí),f(x)在區(qū)間(-∞,-),(2,+∞)單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,極大值為f(2)=(4a+2)e-2,極小值為f()=-2,(當(dāng)x趨向于+∞時(shí)圖象在x軸上方,并且無(wú)限接近于x軸)
所以m=或m>(4a+2)e-2,…(8分)
②當(dāng)a<0時(shí):(ⅰ)當(dāng)>2,即-1<a<0時(shí),f(x)在區(qū)間(-∞,2),(,+∞)單調(diào)遞增,在(2,)上單調(diào)遞減,極大值f(2)=(4a+2)e-2,極小值為f()=-2,(當(dāng)x趨向于+∞時(shí)圖象在x軸下方,并且無(wú)限接近于x軸)
當(dāng)(4a+2)e-2≥0,即時(shí),m=(4a+2)e-2或m<
當(dāng)(4a+2)e-2<0,即-1<a<時(shí),(4a+2)e-2<m<0或m<…(11分)
(ⅱ)當(dāng)2時(shí),即a<-1 時(shí),f(x)在區(qū)間(-∞,),(2,+∞)單調(diào)遞增,在(,2)上單調(diào)遞減,極小值為f(2)=(4a+2)e-2,極大值為f()=-2,(當(dāng)x趨向于+∞時(shí)圖象在x軸下方,并且無(wú)限接近于x軸)
∴m=或m<(4a+2)e-2,…(13分)
(ⅲ)=2時(shí),即a=-1時(shí),f(x)在R上單調(diào)增(當(dāng)x趨向于+∞時(shí)圖象在x軸下方,并且無(wú)限接近于x軸),此時(shí)m<0 …(14分)
分析:(Ⅰ)由f(0)=-2,可得c的值,求導(dǎo)函數(shù),利用切線方程可得b=的值,根據(jù)f(x)在[2,+∞)上為單調(diào)增函數(shù),可得(-ax-2)(x-2)e-x≥0在[2,+∞)上恒成立,由此可求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)函數(shù)F(x)=f(x)-m恰好有一個(gè)零點(diǎn),即y=m和y=f(x)恰好有一個(gè)交點(diǎn),求導(dǎo)函數(shù),再進(jìn)行分類討論:①當(dāng)a>0時(shí),f(x)在區(qū)間(-∞,-),(2,+∞)單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;②當(dāng)a<0時(shí):(�。┊�(dāng)>2,即-1<a<0時(shí),f(x)在區(qū)間(-∞,2),(,+∞)單調(diào)遞增,在(2,)上單調(diào)遞減;(ⅱ)當(dāng)2時(shí),即a<-1 時(shí),f(x)在區(qū)間(-∞,),(2,+∞)單調(diào)遞增,在(,2)上單調(diào)遞減;(ⅲ)=2時(shí),即a=-1時(shí),f(x)在R上單調(diào)增,從而可得結(jié)論.
點(diǎn)評(píng):本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用,考查函數(shù)的單調(diào)性,考查函數(shù)的極值,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想,正確分類是關(guān)鍵.
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已知函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x,
(1)求x<0,時(shí)f(x)的表達(dá)式;
(2)若關(guān)于x的方程f(x)-a=o有解,求實(shí)數(shù)a的范圍.

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已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間(-1,1)上的奇函數(shù),且對(duì)于x∈(-1,1)恒有f’(x)<0成立,若f(-2a2+2)+f(a2+2a+1)<0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
 

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