Question

8．已知x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}x-y-2≤0\\ 5x-3y-12≥0\\ y≤3\end{array}\right.$，當目標函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）在該約束條件下取得最小值1時，（a+1）²+（b-1）²的最小值為（　�。�

• A． $\frac{1}{10}$
• B． $\frac{{\sqrt{10}}}{10}$
• C． $\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$
• D． $\frac{9}{10}$

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標，代入目標函數(shù)可得3a+b=1，結(jié)合a＞0，b＞0求得a的范圍，再把（a+1）²+（b-1）²化為關(guān)于a的二次函數(shù)，利用配方法求得最小值．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}x-y-2≤0\\ 5x-3y-12≥0\\ y≤3\end{array}\right.$作出可行域如圖，

聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x-y-2=0}\\{5x-3y-12=0}\end{array}\right.$，解得A（3，1），
化z=ax+by（a＞0，b＞0）為y=-$\frac{a}x+\frac{z}$，
由圖可知，當直線y=-$\frac{a}x+\frac{z}$過A時，直線在y軸上的截距最小，z有最小值1，
此時3a+b=1，
∵a＞0，b＞0，∴0$＜a＜\frac{1}{3}$．
則（a+1）²+（b-1）²=（a+1）²+9a²=10a²+2a+1=10$（a+\frac{1}{10}）^{2}+\frac{9}{10}$．
則當a=$-\frac{1}{10}$時，（a+1）²+（b-1）²的最小值為$\frac{9}{10}$．
故選：D．

點評 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法和數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．