Question

一種電腦屏幕保護(hù)畫面，只有符號(hào)“○”和“×”隨機(jī)地反復(fù)出現(xiàn)，每秒鐘變化一次，每次變化只出現(xiàn)“○”和“×”之一，其中出現(xiàn)“○”的概率為p，出現(xiàn)“×”的概率為q．若第k次出現(xiàn)“○”，則a_k=1；出現(xiàn)“×”，則a_k=-1．令S_n=a₁+a₂+…+a_n（n∈N^*）．
（1）當(dāng)p=q=

1

2

時(shí)，求S₆≠2的概率；
（2）當(dāng)p=

1

3

，q=

2

3

時(shí)，求S₈=2且S_i≥0（i=1，2，3，4）的概率．

Answer 1

分析：（1）先求S₆=2的概率，則在6次變化中，出現(xiàn)“○”有4次，出現(xiàn)“×”有2次．求出S₆=2的概率，再用1減去此概率，即可求得S₆≠2的概率．
（2）當(dāng)S₈=2時(shí)，即前八秒出現(xiàn)“○”5次和“×”3次，又已知S_i≥0（i=1，2，3，4），若第一、三秒出現(xiàn)“○”，則其余六秒可任意出現(xiàn)“○”3次；若第一、二秒出現(xiàn)“○”，第三秒出現(xiàn)“×”，則后五秒可任出現(xiàn)“○”3次．由此求得S₈=2的概率為P=(

C

3 6

+

C

3 5

)•(

1

3

)5•(

1

3

)3，運(yùn)算求得結(jié)果．

解答：解：（1）當(dāng)p=q=

1

2

時(shí)，先求S₆=2的概率，則在6次變化中，出現(xiàn)“○”有4次，出現(xiàn)“×”有2次．
故S₆=2的概率為

C

4 6

(

1

2

)4•(

1

2

)2=

15

64

．
∴S₆≠2的概率為P₁=1-

15

64

=

49

64

．
（2）當(dāng)S₈=2時(shí)，即前八秒出現(xiàn)“○”5次和“×”3次，又已知S_i≥0（i=1，2，3，4），
若第一、三秒出現(xiàn)“○”，則其余六秒可任意出現(xiàn)“○”3次；
若第一、二秒出現(xiàn)“○”，第三秒出現(xiàn)“×”，則后五秒可任出現(xiàn)“○”3次．
故此時(shí)的概率為P=(

C

3 6

+

C

3 5

)•(

1

3

)5•(

1

3

)3=

30×8

38

=

80

37

=

80

2187

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．